Größenvergleich der Mittelwerte

Question

Gegeben sind zwei Zahlen r und s. Außerdem sei m_a=(r+s)/2; m_g=√(r·s); m_h=2·r·s/(r+s). Zeige geometrisch und mit Hilfe der Beziehung m_h/m_g=m_g/m_a die Doppelungleichung m_a>m_g>m_h.

Answer 1

Da fehlt wohl, dass die Zahlen positiv und verschieden sein müssen.

m_a=(r+s)/2; m_g=√(r·s); m_h=2·r·s/(r+s).

Zeige geometrisch und mit Hilfe der Beziehung m_h/m_g=m_g/m_a die Doppelungleichung m_a>m_g>m_h.

Zuerst  m_a > m_g

<=>  (r+s)/2  > √(r·s)

<=>  r+s  > 2√(r·s)    quadrieren, da alles positiv ist

<=>  r²+2rs +s²  > 4r·s

<=>  r^{2 -} 2rs +s²  > 0

<==> ( r-s)² > 0  Und Quadrate sind nie negativ, und wegen r≠s ist es auch nicht gleich 0.  q.e.d.

geometrisch geht es auch:

Zeichne eine Strecke der Länge r+s. Der Thaleskreis über diese Strecke hat den Radius m_a .

Wenn du am Treffpunkt von r und s (Der Punkt sei Q ) senkrecht hoch gehst, schneidet diese Linie den

Thaleskreis in einem Punkt P. Dann hat PQ nach dem Höhensatz die Länge m_g .

Und m_a ist die Hypotenuse in einem rechtwi. Dreieck mit einer Kathete m_g, also m_a > m_g  .

Comments

Danke für den Hinweis, dass r und s positiv und verschieden sein müssen. Sehe ich das richtig, dass der geometrische Beweis für m_g>m_h noch fehlt?

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Siehst du richtig.

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Aber das ist eigentlich das Gleiche wie vorhin, denn

√(rs)   > 2rs / (r+s)

läßt sich ja leicht umformen zu

(r+s) *√(rs)   > 2rs    <    |  :  ( 2√(rs)  )

<=>  (r+s) / 2 >  √(rs)  .  Und das ist ja geometrisch bewiesen.