Formeln übersetzen, sodass dies Sinn macht

Question

Ich soll die folgende Formel in einer "natürlichen " Sprache übersetzen:

∃ x. ∀ y. y ∈ x <-> y ⊆ x.

Mein Vorschlag, was irgendwie wenig Sinn macht, wäre:

Es existiert ein x, sowie für alle Elemente y gilt, y ist Element von x, äquivalent zu y Teilmenge gleich x.

Ich weiß, das ist keine richtige Übersetzung.

Comments

Sicher, dass es in " ∃ x. ∀ y. y ∈ x <-> y ⊆ x.  " so viele Punkte hat? 

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> Sicher, dass es ... so viele Punkte hat?

Das machen einige Autoren so. Einige verwenden stattdessen Doppelpunkte, andere ein Leerzeichen. Für die Bedeutung der Formel sind solche Zeichen unerheblich, sie sollen lediglich der Übersichtlichkeit dienen.

Answer 1

Es existiert ein x, so dass jedes y genau dann Element von x ist, wenn es Teilmenge von x ist.

Es existiert eine Menge, deren Elemente genau ihre Teilmengen sind.

Es exsitert eine Menge die gleich ihrer Potenzmenge ist.

Answer 2

Ich weiß, das ist keine richtige Übersetzung.

Das liegt daran, dass in der Zeile ∃ x. ∀ y. y ∈ x <-> y ⊆ x das y einmal eine Menge und einmal ein Element ist. Daher ist das, was du übersetzen sollst, schon nicht richtig.

Comments

> das y einmal eine Menge und einmal ein Element ist

M := {1, 2, {1,2}}. Dann ist sowohl {1,2} ∈ M als auch {1,2} ⊆ M.

Es ist nicht ungewöhnllich, solche Mengen zu betrachten. Zum Beispiel können die natürlichen Zahlen so definiert werden:

0 := ∅

1 := 0 ∪ {0} = ∅ ∪ {∅} = {∅}

2 := 1 ∪ {1} = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}

3 := 2 ∪ {2} = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

...

 n+1 := n ∪ {n}

> Daher ist das, was du übersetzen sollst, schon nicht richtig.

Es geht bei dieser Aufgabe vorerst wohl darum, den formalen Ausdruck in eine Anschauung zu übersetzen. Dort lässt sich dann leichter entscheiden, ob die Aussage eine Tautologie, erfüllbar oder unerfüllbar ist. Zum Beispiel hat jede Menge eine kleinere Mächtigkeit als ihre Potenzmenge, kann also gar nicht gleich ihrer Potenzmenge sein. Ohne die Übersetzung der formalen Aussage

        ∃ x. ∀ y. y ∈ x <-> y ⊆ x

in die eher anschauliche Aussage

        "Es exsitert eine Menge die gleich ihrer Potenzmenge ist."

wäre das nicht so einfach zu entscheiden.