geschlossenen Ausdruck bestimmen für ∑_(k=2)^50 1/(-3)^k

Question

Ich soll einen geschlossenen Ausdruck bestimmen und habe folgendes raus. Ich habe aber das Gefühl, dass ich etwas falsch gemacht habe. ∑_(k=2)^50 1/(-3)^k

Answer 1

"dass ich etwas falsch gemacht habe"

Du hast die 1 über dem Bruchstrich mit einer unerlaubten Umformung  zum Verschwinden gebracht. (bei -k im Exponenten einfach die Formel für +k im Exponenten benutzt)

Vorschlag: 

∑_(k=2)^50 1/(-3)^k      | Potenzgesetze 

= ∑_(k=2)^50 (- 1/3)^k

= ∑_(k=0)^50 (- 1/3)^k   - (-1/3)^0 - (-1/3)^1

= (1 - (-1/3)^51) / ( 1 - (-1/3))  - 1 + 1/3

= (1 - (-1/3)^51) / ( 4/3))  - 2/3 

= (3 + 3(1/3)^51)/ 4 - 2/3

Das kannst du noch auf einen Bruchstrich schreiben. Aber: Bitt erst mal nachrechnen!

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe 

Kontrolle maschinell: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%91_(k%3D2)%5E50+++(1%2F(-3)%5Ek)+%3D+(3+%2B+3(1%2F3)%5E51)%2F+4+-+2%2F3

Answer 2

Die Reihe heißt 1/9-1/27+1/81-1/243+ ...= 2/27+2/243+....=2/27·∑_k=0²⁴(1/9)k+1/(-3)⁵⁰

Wenn man den letzten Summanden weglässt, ist das eine geometrische Reihe mit  dem konstanten Quotienten 1/9 und 24 Gliedern. Dafür gibt es eine Formel in jeder Formelsammlung. Das Glied 1/(-3)⁵⁰ ist dann noch zu addieren.

Answer 3

Hallo manfred999! :-)

Ich habe aber das Gefühl, dass ich etwas falsch gemacht habe

Dein Gefühl täuscht Dich nicht! Du hast -3 in die Formel eingesetzt, du musst aber 1 / (-3) einsetzen. Dann musst Du aber noch zwei Summenglieder abziehen, eins für k=0 und eins für k=1. Es lässt sich auch der Index verschieben, dann brauchst Du die Summe nicht aufzuteilen bzw. nichts zu subtrahieren.

 

Beste Grüße