Mit Konvergenz-Definition zeigen, dass Folge nicht konvergiert

Question

Ich soll zeigen, dass

$$(\left( -1 \right) ^{ n })$$

nicht konvergiert.

Dafür darf ich nur die Konvergenz-Definition verwerden, also:

$$\forall \quad \varepsilon >0\quad \exists \quad N=N(\varepsilon )\quad \quad \quad \forall \quad n\ge N\quad gilt\quad \left| { a }_{ n }\quad -\quad a \right| <\varepsilon$$

Hatte überlegt mit Teilfolgen zu argumentieren, bzw. dass die Teilfolgen beide auf a und b konvergieren, aber a und b nicht gleich sind.

Ich wüsste nicht, wie ich das mit der bloßen Definition tun soll (Folgerungen aus der Definition seien wohl nicht okay). Habt ihr einen Tipp für mich?

Comments

Zeige, dass die angegebene Folge der definierenden Bedingung für Konvergenz (wie von Dir aufgeschrieben) nicht genuegt, indem Du zeigst, dass sie der Negation der definierenden Bedingung genuegt.

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Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann hat jede Teilfolge den gleichen grenzwert.

Zeige, das sich eine Teilfolge den Grenzwert a = 1 besitzt. Und zeige das die andere Teilfolge diesem Grenzwert nicht beliebig nahe kommt.

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Wenn man aber bloss mit der Konvergenzdefinition arbeiten soll, dann sind weitergehende Theorieinhalte (Teilfolgen, etc.) nicht angezeigt, oder?

Answer 1

Vielleicht indirekt:

Angenommen, die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert a

==> ∀ε>0∃N=N(ε)∀n≥Ngilt|an−a|<ε∀ε>0  ∃N=N(ε)  ∀ n≥N  gilt | (-1)ⁿ   −a|<ε  

also würde auch ε=0,5 gelten :  ∃N=N(ε)  ∀ n≥N  gilt | (-1)ⁿ   −a |< 0,5

Nun gibt es aber zu jedem N(o,5) Werte von n, die gerade sind und welche die

ungerade sind,  Es müsste also gelten 

| 1  −a |< 0,5    und  | -1 - a | < 0,5 

also 

-0,5 < 1  −a < 0,5    und  -0,5 < -1-a < 0,5    | -1  bzw. | +1 

 ==>   -1,5 < - a < -0,5   und    0,5 < - a  < 1,5

Widerspruch; denn es gibt keine Zahl, die sowohl

zwischen -1,5 und -0,5  als auch zwischen 0,5 und 1,5 liegt.

Und wenn es kein -a gibt, gibt es auch kein a.