Aloha :)
Wir vermuten, dass die Folge \(a_n\coloneqq\frac{2}{n^2}\) gegen den Grenzwert \(a=0\) konvergiert.
Um das mit der Definition zu beweisen, wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest, und müssen nun zeigen, dass für fast alle \(n\in\mathbb N\) gilt:$$\left|a_n-a\right|<\varepsilon$$"Für fast alle \(n\)" bedeutet, dass die Behauptung für alle \(n\) gilt, die größer oder gleich einem \(n_0\in\mathbb N\) sind. Diese Grenze \(n_0\) darf von \(\varepsilon\) abhängen.
Schauen wir mal, ob wir ein solches \(n_0\) finden können:$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{2}{n^2}-0\right|=\frac{2}{n^2}\stackrel!<\varepsilon\quad\leadsto\quad\frac{n^2}{2}>\frac1\varepsilon\stackrel{n>0}{\Longleftrightarrow} n>\sqrt{\frac2\varepsilon}\quad\leadsto\quad n_0\coloneqq\left\lceil\sqrt{\frac2\varepsilon}\right\rceil$$
Da wir \(\varepsilon>0\) beliebig gewählt haben, können wir für alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0=\left\lceil\sqrt{\frac2\varepsilon}\right\rceil\) angeben, sodass \(|a_n-0|<\varepsilon\) für alle \(n\ge n_0\) gilt.
Die Folge konvergiert daher gegen \(a=0\).
