Zeigen Sie jeweils direkt mit Hilfe der Definition des Grenzwerts, ob die Folge a_n konvergiert. Beispiel: a_n = 1/(n-3)

Question

Ich brauche eure Hilfe eine um die Aufgabe zu lösen:

Zeigen Sie jeweils direkt mit Hilfe der Definition des Grenzwerts, ob die Folge \( a_n \) konvergiert.

a) \( a _ { n } = \frac { 1 } { n - 3 } \text { für alle } n > 3 \)

b) \( a _ { n } = \frac { 1 } { ( n + 2 ) ^ { 2 } } \)

c) \( a _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( n + 2 ) ^ { 2 } } \)

d) \( a _ { n } = \frac { 3 n } { ( n + 3 ) } \)

e) \( a _ { n } = 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { n } \)

f) \( a _ { n } = 4· \left( \frac { n } { 4 } - \left[ \frac { n } { 4 } \right] \right) \)

Answer 1

Um Konvergenz gemäss Definition zu zeigen, muss man die Nummer eines Folgenglieds angeben, ab dem alle weiteren Folgenglieder betragsmässig sicher nicht mehr als Epsilon vom Grenzwert abweichen. 

Sei hier immer Epsilon = 1/m              m Element IN vorgegeben (somit betragsmässig beliebig klein)

a) Behauptung: an = 1/(n-3) → 0

Beweis:

|1/(n-3) - 0|             |n>3

= 1/(n-3) < 1/m falls n-3 > m also für n> m+3 gilt |an - 0| < 1/m qed

b) Behauptung: an = 1/(n+2)^2 -----> 0

Beweis.   |1/(n+2)^2 -0| = 1/(n+2)^2 < 1/m falls

(n+2)^2 > m. Da n> 1 genügt n>m vollauf, damit |an - 0|< 1/m.

c)  Behauptung: an = (-1)^n/(n+2)^2 -----> 0

Beweis.   |(-1)^n/(n+2)^2 -0| = 1/(n+2)^2 < 1/m falls

(n+2)^2 > m. Da n> 1 genügt n>m vollauf, damit |an - 0|< 1/m.     (Anm: wie b)

d) Behauptung: an=3n/(n+3) → 3

Beweis:

an =3n/(n+3) = (3(n+3) - 9)/(n+3)              

                     |ergänzen, damit man geeignet kürzen kann  

= 3 - 9/(n+3)

|an -3| = |9/(n+3)| = 9/(n+3) < 1/m

9m < n+3

n> 9m -3 genügt, damit |an-3|< 1/m

e) Behauptung an = 1 - (1/2)^n → 1

Beweis

|1 - (1/2)^n - 1| = 1/2^n < 1/m

2^n > m

n > ln(m)/ln(2)  genügt damit |an-1| <1/m . qed.

f) Kann ich nicht beantworten, da ich nur vermuten kann, was diese eckigen Klammern bedeuten.

Sollte es sich um das abgerundete Resultat einer Division durch 4 handeln, kommen in der runden Klammer immer wieder die Zahlen 0, 0.25, 0.5, 0.75, 0, 0.25, … vor. Multipliziert mit 4 ergibt das immer wieder 0,1,2,3,0,1,2,3,0,…

Da existiert kein Grenzwert. Man findet deshalb auch kein n, ab dem die Abstände vom Grenzwert kleiner als 1/m werden.