Zeigen, ob Folge konvergiert

Question

Ich habe Verstanden, was die Konvergenz einer Folge ist, aber ich weiß einfach nicht welchen Ansatz ic benutzen muss, um das zu zeigen.

Es wäre super, wenn jemand mir das ganze mal an einer der Folgen erklären könnte :)

Comments

haha hab die selbe aufgabe ;D bestimmt auch ein kölner... ich hab zwar das selbe problem aber vllcht hilft dir das ja ein bisschen weiter von a) und b) ist der grenzwert 1 und beide konvergieren... kannst du an nem graph sehen wie du das jetzt beweisen sollst weiss ich nicht :C aber vielleicht kriegste ja ein paar "du hast es versucht" punkte wenn du den graphen skizzierst und die lösung aufschreibst ;D

---

zu a) siehe hier: https://www.mathelounge.de/289098/konvergenz-und-grenzwert-folgen?show=289168

---

ich habe jetzt a und b gelöst, bei c-e komme ich gerade nicht so richtig weiter. Hat da noch jemand einen Tipp für mich?

Answer 1

bei d): Du hast im Zähler \(n\) Faktoren und im Nenner \(n\) Faktoren. Du kannst den Bruch als Produkt aus \(n\) Brüchen schreiben, die alle kleiner gleich 1 sind.

bei e): Schreibe als Bruch und erweitere geschickt (3. binomische Formel). Dann noch richtig kürzen.

Gruß

Comments

danke, aber wo bekomme ich denn einen bruch bei der e her?
Zur c hast du keine idee?

---

\(a = \frac{a}{1} \) ;).
Hab mich verlesen, dachte du hättest die c) schon. Aber in der Aufgabe ist doch ein Hinweis gegeben.

---

also wenn ich jetzt n/1 einsetze bringt mich das auf keine 3. Bin. Formel  :D

---

$$ \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n} = \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}}{1} = \frac{(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}} $$

---

nach dem kürzen hab ich wieder den anfangsterm :(

---

Wo wäre der Sinn zu erweitern und dann direkt wieder zu kürzen????

Multiplizier den Zähler aus Kerl :D.

---

ok. wäre dann (n√(n)-n² ) /  (√(n+√n)+√n

---

Nein. Kennst du die 3. binomische Formel?

---

klar, ich habe das auch so gemacht. es kommt am ende wuzel (n+wurzel (n))^2 - n^2 raus und das erste ^2 hebt die wurze auf
 

---

Nein, es kommt \( (\sqrt{n+\sqrt{n}})^2-(\sqrt{n})^2\) raus.

---

das ist das was ich habe :)

---

aber da kommt man ja leider nicht weiter ..

---

Oh man,

$$ \left(\sqrt{n+\sqrt{n}} \right)^2-(\sqrt{n})^2 = n + \sqrt{n}-n = \sqrt{n}$$

---

das kann ich auch, aber was mach ich dann mit dem zeug unter dem bruchstrick

---

"Das kann ich auch"????

Kürze den Bruch mit \(\sqrt{n}\).

---

unten steht doch eine summe, wie soll ich da noch kürzen?

---

Indem du jeden Summanden kürzt.

---

sqrt(n)/(sqrt(n+sqrt(n))+sqrt(n))

---

also komm 1/ (2Wurzel n) raus?

---

Nein. Um dem ein Ende zu machen:

$$\Large \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+1} \longrightarrow \frac{1}{2} $$