Extremwertaufgabe: a) 400 m langer Zaun für möglichst grosse rechteckige Fläche.

Question

Wie schon in Titel gesagt geht es um Anwendungsaufgaben zum Thema Extremwert.

a) Ein Bauer möchte mit einem 400m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche abzäunen. Welche Maße muss die Fläche haben ?

b) Ein Bauer möchte eine 400m^2 große rechteckige Fläche mit möglichst wenig Zaun eingrenzen. Welche Abmessungen muss die Fläche haben ?

Vielen Dank schon mal für die Hilfe

Answer 1

Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang

Nebenbedingung

U = 2·a + 2·b --> b = U/2 - a

Hauptbedingung

A = a·b = a·(U/2 - a) = U/2·a - a^2

A' = U/2 - 2·a = 0 --> a = U/4

b = U/2 - a = U/2 - U/4 = U/4

Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit a = b = U/4.

Rechteck mit minimalem Umfang bei gegebenem Flächeninhalt

Nebenbedingung

A = a·b --> b = A/a

Hauptbedingung

U = 2·a + 2·b = 2·a + 2·A/a

U' = 2 - 2·A/a^2 = 0 --> a = √A

b = A/a = A/√A = √A

Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit a = b = √A.