Extremwertaufgabe: Eine rechteckige Fläche soll den Flächeninhalt 400 m^2 erhalten.

Question

Eine rechteckige Fläche soll den Flächeninhalt 400 m2 erhalten.Wie lange müssen die Seiten des Rechtecks sein, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird?

Answer 1

A = x*y = 400

y = 400/x

U = 2x+2y

U = 2x+800/x

U'(x) = 0

2-800/x^2 = 0

800/x^2 = 2

x^2 = 400

x = 20 (Die negative Lösung entfällt) 

--> y = 20

Es ist also ein Quadrat.

Answer 2

zu vermuten ist, dass das gesuchte Rechteck ein Quadrat ist.

I. A = a * b = 400m² | a = 400/b
II. U = 2a + 2b | ist zu minimieren

I in II eingesetzt:
f(b) = 2 * 400/b + 2b = 800/b + 2b
f'(b) = 2 - 800/b²
2 - 800/b² = 0
2 = 800/b²
2b² = 800
b² = 400
b = √400 = 20

In I eingesetzt
a = 400/20 = 20

Die Vermutung stimmte also:
a und b haben jeweils die Länge 20m

Besten Gruß

Comments

Hallo,

sitze auch an der Aufgabe und verstehe nicht den folgenden Schritt:

800/b + 2b
f'(b) = 2 - 800/b2 (das 2b abgeleitet 2 ergibt verstehe ich, aber wie kommen wir auf Minus 800/b2

Vielen Dank im Voraus

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Die Ableitung von 1/x = -1/x^2

f(x) = 1/x = x^(-1)

-> f '(x) = -1*x^-2 = -1/x^2

Faktor- und Potenzregel

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aber wie kommen wir auf Minus 800/b²

Das ist die Ableitung von 800/b = 800b^-1.