Extremwertaufgabe: Aus einer dreieckigen Steinplatte soll eine rechteckige mit der Länge x herausgesägt werden

Question

Extremwertaufgabe (Quadratische Funktion):

Aus einer dreieckigen Steinplatte a=0.4m und b=0.6m soll eine rechteckige mit der Länge x herausgesägt werden. Wie muss x gewählt werden, damit die Fläche der rechteckigen Platte möglichst gross wird?

Ich benötige die zweite Bedingung, oder Hinweise, wie ich die auflösen kann?

Mein Ansatz:

Fläche: x*y

Umfang: 1.2m-2x-2y

Wie komme ich nun hier weiter?

Answer 1

y = a - a/b·x

A = x·y = x·(a - a/b·x) = a·x - a/b·x^2

A' = a - 2·a/b·x = 0 --> x = b/2

Comments

Was sagt jedoch diese Funktion aus "y = a - a/b·x"?

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Lineare Funktion in der Achsenabschnittsform.

a ist der y-Achsenabschnitt und b der x-Achsenabschnitt bzw. die Nullstelle.

Answer 2

am einfachsten geht es mit Koordinatengeoemetrie.
Setze dein Dreieck (so, wie es in deiner Skizze liegt, mit dem rechten Winkel in den Ursprung.

Die schräge Linie ist dann eine Gerade durch die Punkte (0 | 0,4) und (0, 6| 0).

Diese Gerade hat die Gleichung y=(-2/3)*x+0,4.

Ein beliebiger Punkt dieser Geraden hat also die Koordinaten ( x |  (-2/3)*x+0,4. ).

Wenn ein solcher Punkt nun Eckpunkt deines Rechtecks ist, dann steht seine x-Koordinate für die Breite und seine y-Koordinate für die Höhe des Rechtecks. Das Rechteck hat also den Inhalt

$$A= x\cdot (\frac{-2}{3}\cdot x+0,4)$$ Ausmultipliziert ergibt das $$A= \frac{-2}{3}\cdot x²+0,4x$$.

Das ist also die Funktion, die den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom gewählten x-Wert des Eckpunkts auf der Schräge beschreibt. Berechne von dieser Funktion die Extremstelle.