Extremwertaufgabe: Bei quadrat mit 40m Umfang soll verändert werden, sodass die länge 2* so groß ist wie die Breite

Question

Aufgabe: bei einem quadratischen Grundstück mit 10 m Seitenlänge soll die Breite um eine bestimmte Strecke verkleinert werden, dafür wird die Länge und das doppelte diese Strecke vergrößert. Wie lange muss diese Strecke sein, damit das Grundstück eine maximale Größe erhält?

Problem/Ansatz:

Ich wollte die aufgabe mit einer parabel lösen und dann den Scheitelpunkt herausfinden (Extremwertproblem) aber ich habe anstatt üblichen 2 Bedingungen 3 Bedingungen, also in meinem Fall 1) A=x*y 2) 2x+2y=40 3) x=2y , wenn die Länge x und die breite y ist. Wie kann ich hier die Parabel berechnen oder ist mein ansatz falsch

Comments

In deiner Überschrift steckt ein Fehler.

Nicht die Länge soll doppelt so groß wie die Breite sein, sondern die Änderung der Länge soll doppelt so groß wie die Änderung der Breite sein.

Answer 1

Hallo,

a=10-x

b=10+2x

A(x)=(10-x)*(10+2x)

=-2x^2+10x+100

=-2*(x^2-5x)+100

=-2*(x^2-2*2,5x+6,25-6,25)+100

=-2*(x^2-2*2,5x+6,25)+(-2)*(-6,25)+100

=-2*(x-2,5)^2+12,5+100

=-2*(x-2,5)^2+112,5

Scheitelpunkt S(2,5|112,5)

:-)

Answer 2

Hallo,

die Länge des Quadrates ist mit 10 m bereits gegeben.

von einer Seite wird die Strecke abgezogen, das ergibt für eine Seite 10 - x

zu der anderen Seite wird das doppelte dieser Strecke addiert, das ergibt für die andere Seite 10 + 2x

Den Flächeninhalt berechnest du also mit (10 - x)·(10 + 2x).

Bilde davon die 1. Ableitung und berechne so den Extrempunkt.

Gruß, Silvia

Answer 3

a =  10 - x
b = 10 + 2x

A ( x ) = ( 10 - x ) * ( 10 + 2x )
A ( x ) = 100 - 10x - 2x^2 + 20x
A ( x ) = 100 + 10x - 2x^2
soll max werden
A ´ ( x ) = 10 - 4x
10 - 4x = 0
4x = 10
x = 2.5 m

( 7.5 | 15 )

Answer 4

bei einem quadratischen Grundstück mit 10 m Seitenlänge soll die Breite um eine bestimmte Strecke verkleinert werden, dafür wird die Länge und das doppelte diese Strecke vergrößert. Wie lange muss diese Strecke sein, damit das Grundstück eine maximale Größe erhält?

A(x) = (10 - x) * (10 + 2x)

Die Nullstellen wären bei 10 und -5. Das Maximum befindet sich daher exakt in der Mitte bei x = 2.5.

Die gesuchte Strecke beträgt also 2.5 m

A(2.5) = (10 - 2.5) * (10 + 2 * 2.5) = 112.5 m²

Die maximale Fläche beträgt 112.5 m²