Extremwertaufgabe - Rechteck mit konstantem Teil Umfang

Question

Aufgabe:

Ein rechteckiges Grundstück soll eingezäumt werden. Auf der einen Seite wird es durch eine Mauer begrenzt. Die Vorgabe lautet: Verwende genau 12m Zaun! Stelle die Flächeninhaltsfunktion für das Rechteck auf und finde heraus, für welchex dieses Inhalt

a) ein Extremwert wird.

b) die Größe 17,5m^2 annimt

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) habe ich schon berechnet und auch die Randextrema beachtet allerdings komme ich mit Aufgabe b) nicht voran. Zuerst dachte ich, man müsse die 17,5 qm als Flächeninhalt einsetzen also in A(x)= x(6-x) bzw A(x)=-x^2+6x. Allerdings gibt es dafür keine Lösung und ich komme seit zwei Stunden auf keine andere Lösung oder wenigstens einen Lösungsansatz

Answer 1

a)Zielfunktion:

A(a,b)=a*b soll maximal werden

Nebenbedingung:

a+2b=12   → a=12-2b

A(b)=(12-2b)*b=12b-2b^2

A´(b)=12-4b →12-4b=0       b=3     a=6

A(6,3)=18

b) 12b-2b^2=17,5        2b^2-12b=-17,5        b^2-6b=-8,75

b^2-6b=-8,75 

(b-3)^2=-8,75+9| \(\sqrt{~~}\)

1.) b=3+0,5=3,5      a=12-2*3,5=5

2.)b=3-0,5=2,5     a=12-2*2,5=7

Answer 2

Ein rechteckiges Grundstück soll eingezäumt werden. Auf der einen Seite wird es durch eine Mauer begrenzt. Die Vorgabe lautet: Verwende genau 12m Zaun! Stelle die Flächeninhaltsfunktion für das Rechteck auf und finde heraus, für welches x dieses Inhalt

Es ist unklar, welche der beiden Rechteckseiten x ist. Ich nehme mal die längere Seite.

x + 2·y = 12 --> y = 6 - 0.5·x

A = x·y = x·(6 - 0.5·x) = 6·x - 0.5·x^2

a) ein Extremwert wird.

A' = 6 - x = 0 → x = 6 m

b) die Größe 17,5m2 annimt

A = 6·x - 0.5·x^2 = 17.5 --> x = 5 m ∨ x = 7 m