Aus einem Draht soll ein Rechteck gebogen werden

Question

Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche vomn maximalem Inhalt umrandet. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen ?

Answer 1

Den maximalen Flächeninhalt  erhält man bei diesen  Seitenlängen  50/4=12,5 cm .

Leg am besten eine Wertetabelle

U = 2a+2b   un A= a*b     und U = 50cm

Comments

... wobei das überhaupt nicht rechnerisch bewiesen wurde.

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50= 2a+2b              a= 25 -b

A = a*b                    | a einsetzen

A= 25b-b²               nun die Scheitelpunktform

A=  -1( b -12,5)² +12,5²

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Wie kommt man dabei auf A= 25b-b^2? Also warum -b und warum b^2?

Vielen Dank :)

Answer 2

Flächeninhalt: A = l * b

Bedingung: l + b = 50 <=> l = 50 - b

=> A = (50 - b) * b <=> 50b - b^2

f(x) = -x^2 + 50x, gesucht ist Maximum(f(x))

In die Scheitelform: f(x) = -x^2 + 50x = -(x^2 - 50x) = -((x - 25)^2 - 625) = -(x-25)^2 + 625

=> Scheitelpunkt: (25|625) der Form (Px|Py), wobei Px die Breite ist Py der Flächeninhalt ist.

Die optimale Breite ist nun 25, die optimale Fläche 625.

l = 50 - b = 50 - 25 = 25

Also ist die optimale Länge 25, die optimale Breite 25 und somit die optimale Fläche 25^2 = 625.

Comments

Sollte nicht  u = 2·(l + b) = 50  sein?

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Gesucht ist ja der maximale Flächeninhalt A = l * b, und nicht der Umfang U = 2 * (l + b).

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Aber die 50cm Draht reichen doch nicht um dein Quadrat mit 25cm Seitenlänge einzufassen. (?)

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Dein Rechteck hat den Umfang u = 100 cm. Der Draht ist aber nur halb so lang.

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Stimmt ... werde das korrigieren.

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Korrektur

Flächeninhalt: A = l * b

Bedingung: 2l + 2b = 50 <=> l = 25 - b

=> A = (25 - b) * b <=> 25b - b²

f(x) = -x² + 25x, gesucht ist Maximum(f(x))

In die Scheitelform: f(x) = -x² + 25x = -(x² - 12,5x) = -((x - 12,5)² - 156,25) = -(x - 12,5)² + 156,25

=> Scheitelpunkt: (12,5|156,25) der Form (Px|Py), wobei Px die Breite ist Py der Flächeninhalt ist.

Die optimale Breite ist nun 25, die optimale Fläche 625.

l = 25 - b = 25 - 12,5 = 12,5

Also ist die optimale Länge 12,5, die optimale Breite 12,5 und somit die optimale Fläche 12,5² = 156,25.

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u = 2 · (l + b) = 50 ist die Nebenbedingung, so steht es ja auch in meinem Korrekturkommentar.

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Richtig. Das hast du gut gemacht.

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Wie kommt man auf f(x)= -x²+50x ?

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Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche vomn maximalem Inhalt umrandet. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen ?

a : Seitenlänge
b : andere Seitenlänge

U = 50 cm
U = 2 * (a + b) = 50
a+ b = 25
a = 25 - b

F = a * b
F = ( 25 - b ) * b = 25*b - b^2
1 Ableitung
F´( b ) = 25 - 2*b
max = 25 - 2 * b = 0
2b = 25
b = 12.5

usw

Answer 3

Grundsätzlich: Unter allen Rechtecken mit dem Umfang a hat das Quadrat mit der Seitenlänge a/4 cm den größten Flächeninhalt.

Comments

Hallo Roland,

was du geschrieben ist völlig richtig, dem
Fragenden aber nicht bekannt.
Deshalb meine Herleitung der Antwort.

Zu deiner Erheiterung möchte ich dir noch den Kalenderspruch des Tages mitteilen

Wer allem gegenüber offen ist kann
nicht ganz dicht sein.

mfg Georg