Extremalprobleme. Aus 50 m Draht soll ein rechteckiges einmal unterteiltes Gatter mit … abgesteckt werden.

Question

Hallo wir haben uns bis jetzt mit quadratischen Funktionen beschäftigt und sind jetzt bei den ganzrationalen Funktionen und bearbeiten nun extremalprobleme

Die Aufgabe lautet aus 50 m Draht soll ein rechteckiges einmal unterteiltes Gatter mit maximaler Fläche abgesteckt werden (zu sehen ist ein Zaun das ungefähr in der Mitte also etwas mehr abgetrennt ist auf der linken Seite befindet sich ein Hase und auf der rechten ein Schaf)

Wir wir sind so vorgegangen dass wir erst die Hauptbedingung und dann die Nebenbedingung aufgestellt haben... es geht um das Extremum...

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen und mir Schritt für Schritt das erklären da ich das nicht ganz verstanden habe:)

!!!!!

Comments

1. Schritt: Gatter zeichnen (z.B. von oben). Strecken und Flächen anschreiben.

Mach das mal.

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Könnt ihr mir das bitte anhand einer Rechnung erklären ?

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Sieh das Gatter so aus ?

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Ja genau !:)

Answer 1

Wenn ich davon ausgehe, dass die Unterteilung parallel zu einer Rechtecksseite verläuft und das Rechteck a lang und b breit ist, dann gilt (Nebenbedingung) 3b+2a = 50. Für die Fläche F eines Rechtecks gilt (Hauptbedingung) F=a·b. Nebenbedingung nach b auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen. Das ergibt eine Funktionsgleichung F(a)=quadratischer Term. Den Scheitelpunkt (s|F(s)) der Parabel suchen. Dann ist F(s) die größtmögliche Fläche.

Answer 2

A = a * b ( b ist die längere Seite )

L = 2 * b + 3 * a = 50
b = ( 50 - 3 * a ) / 2

A = a * ( 25 - 1.5 a )
A = 25 * a - 1:5 * a ^2
A ´ ( a ) = 25 - 3 * a
Max
25 - 3 * a = 0
a = 25 / 3
b = ( 50 - 3 * a ) / 2 = ( 50 - 25 ) / 2
b = 25 / 2

Probe
L = 2 * b + 3 * a = 50 / 2 + 75 / 3 = 50 m
A = 25 / 3 * 25 / 2 = 625 / 6 = 104,17 m^2