Hallo,
mal angenommen, die eine Seite des Rechtecks ist \(a\) lang und die andere \(b\), dann ist die Fläche \(F\) eines Rechtecks$$F = a \cdot b$$das soll möglichst viel sein. Der Umfang ist durch die Länge \(l\) der Schur \(l = 7,5\text m\) vorgegeben. Und der Umfang eines Rechtecks ist$$l = 2(a+b)$$ Der Mittelwert \(m\) von \(a\) und \(b\) ist $$m= \frac 12(a+b)$$ und wenn ich die Differenz von \(a\) und \(b\) zu \(m\) mal mit \(d\) bezeichne, so ist doch $$a = m + d \\ b = m -d \\ \implies F = (m+d)(m-d) = m^2 - d^2$$und der Umfang ist$$l = 2(m+d + m - d) = 4m \implies m = \frac 14 l$$nun ist \(l=7,5 \text m\) aber gegeben und damit konstant. Dann muss nach \(m=l/4\) auch \(m\) konstant und damit unabhängig von \(a\) und \(b\) sein.
Nun betrachte die Flächenformel von oben:$$F = m^2 - d^2$$wann ist \(F\) hier am größten? doch nur, wenn \(d=0\) - oder? Wenn \(d\) irgendeinen anderen Wert hat als 0, auch wenn \(d\) kleiner als 0 ist, wird von \(m^2\) immer etwas abgezogen.
Daraus folgt: den größten Flächeninhalt erreicht man, indem man \(d=0\) setzt, und dann wird \(a=b=m= l/4 = 1,875 \text m\).
Solltest Du in der Schule bereits Ableitungen durch genommen haben, so ist der zugehörige Rechenweg: $$\begin{aligned} F &= a \cdot b \\ l & = 2(a+b) \implies b = \frac l2 - a \\ F&= a \left( \frac l2 - a \right) \\ &= \frac 12 al - a^2 \\ F'_a &= \frac 12 l - 2a \to 0 \\ \implies a_{\text{opt}} &= \frac 14 l = \frac 14 \cdot 7,5 \text m = 1,875 \text m\end{aligned}$$
