Bestimmen aller offenen Mengen eines topologischen Raumes

Question

folgende Aufgabe:

Sei O={{2}{1,2},{2,3},{1,2,3},∅.{1,2,3,4}} eine Topologie auf X = {1,2,3,4}.

Bestimmen sie die Menge aller Umgebungen V(1) von 1.

Umgebungen sind bei uns so definiert: • V ⊂ X heißt Umgebung von x, falls es eine offene Menge U ⊂ X gibt, so dass x ∈ U ⊂ V . Wir setzen V (x) ∶= {V ⊂ X ∣ V ist eine Umgebung von x}

Wie finde ich nun offene Umgebungen in dieser Topologie?

Noch Frage: Wie sortiert man innerhalb der Menge die Zahlenwerte richtig? Gibt es da etwas, worauf man sich geeinigt hat?

Answer 1

Die Umgebungen von 1 sind alle offenen Mengen, die 1 enthalten, also

V(1) = { {1,2},{1,2,3}.{1,2,3,4}}

Zu deiner 2. Frage: In einer Menge kommt es auf die Reihenfolge

der Elemente nicht an, es ist z.B   {1;2}={2;1}.

Comments

Warum genau ist beispielsweise die Menge {1,2,3} denn offen?
LG

---

Eine Topologie wird doch durch die Angabe der offenen Mengen

bestimmt. Deine offenen  Mengen sind die Elemente von O. Die

sind ja explizit angegeben.

---

Hi mathef,

Unsere Definition sagt ja, dass V eine Umgebung von 1 ist, falls es (irgend)eine offene Menge U ⊂ X gibt, sodass die 1 ∈ U ist, und U ⊂ V.

Nach dieser Definition wäre doch sogar die Menge {1} als solches eine Umgebung von {1} selbst, da es eine offene Menge aus X ist, oder nicht?

Warum ist z.B. {1,3} nicht mit drin? Muss das U aus unserer Definition aus der Topologie sein? Eigentlich kommt das U ja aus X, d.h. das U könnte auch {1,3} sein, oder nicht? Oder muss die Umgebung V aus der Topologie sein? Wobei ja V eigentlich auch aus X kommt.

Ohne deine Lösung hätte ich die Aufgabe vermutlich wie folgt bearbeitet:

Ich hätte einfach jede mögliche Kombination von der 1 mit allen anderen Elementen aus X als Umgebung angegeben.
Wo wäre für diese Lösung in der Topologie der Haken?

Oder habe ich die komplette Topologie falsch verstanden und es gibt im top. Raum (X,O) nur genau die Mengen, die in der Topologie O enthalten sind?

Danke dir und LG!