Für welche Primzahlen p gilt 2p + 1 = k^3 mit k ∈ ℕ?

Question 1

Gesucht sind die Primzahlen p mit 2p + 1 = k^3. Dabei ist k eine natürliche Zahl. Beweisen Sie ihr Ergebnis.

Stehe voll auf dem Schlauch.

Question 2

Dann nenn mal ein paar...

Question 3

hallo etham,

bevor Du verzweifelst: rechne $p$ doch einfach aus, indem Du die Gleichung umstellst. Aus $2p+1=k^3$ folgt

$$p=\frac{k^3-1}{2}$$

Nun ist jede Primzahl aber auch eine ganze Zahl und folglich geht obige Gleichung nur auf, wenn $k^3-1$ gerade bzw. $k^3$ und damit $k$ ungerade ist. Folglich kann man für $k$ schreiben:

$$k=2n+1 \quad n \in \mathbb{N}_0$$

Einsetzen in die Gleichung für $p$ gibt

$$p=\frac{(2n+1)^3-1}{2}=4n^3 + 6n^2 + 3n = (4n^2 + 6n + 3) \cdot n$$

und wenn $n>1$ ist, kann $p$ nie eine Primzahl sein, da $p$ dann durch $n$ teilbar ist. Bleibt nur $n=1$, da $n=0$ auch ausscheidet. Mit $n=1$ wird $k=3$ und $p=13$ als einzige Primzahl, die obige Gleichung erfüllt.

Question 4

Suuuper Klasse erklärt, danke!

Question 5

Tipp:

2p=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)

Question 6

Puh das sieht ja noch schwerer aus als die orginal Aufgabge

Question 7

Erstmal in Ruhe nachdenken ;)

Wenn p eine Primzahl ist, dann kann man p nicht mit kleineren Zahlen faktorisieren.

Also kann man oben einen Koeffizienten vergleich anstellen.

Einer der beiden Faktoren muss =2 sein, der andere =p.Da bleibt nur die Option (k-1)=2

Daraus folgt k=3

Nun noch p ausrechnen und fertig :)

Question 8

Da würde ich zwar nie drauf kommen, das so zu faktorisieren aber super Antwort

Question 9

Die kleinste derartige Zahl ist p=13. Vielleicht hilft das?

Question 10

Ich weiß nicht. Ich glaube es sind mehr gesucht.

Question 11

Es sind alle gesucht!

Question 12

Es ist tatsächlich nur eine. Wer hätte das gedacht

Werner-Salomon · Answer 1 · 2017-10-24T10:01:22+0000

hallo etham,

bevor Du verzweifelst: rechne $p$ doch einfach aus, indem Du die Gleichung umstellst. Aus $2p+1=k^3$ folgt

$$p=\frac{k^3-1}{2}$$

Nun ist jede Primzahl aber auch eine ganze Zahl und folglich geht obige Gleichung nur auf, wenn $k^3-1$ gerade bzw. $k^3$ und damit $k$ ungerade ist. Folglich kann man für $k$ schreiben:

$$k=2n+1 \quad n \in \mathbb{N}_0$$

Einsetzen in die Gleichung für $p$ gibt

$$p=\frac{(2n+1)^3-1}{2}=4n^3 + 6n^2 + 3n = (4n^2 + 6n + 3) \cdot n$$

und wenn $n>1$ ist, kann $p$ nie eine Primzahl sein, da $p$ dann durch $n$ teilbar ist. Bleibt nur $n=1$, da $n=0$ auch ausscheidet. Mit $n=1$ wird $k=3$ und $p=13$ als einzige Primzahl, die obige Gleichung erfüllt.

Für welche Primzahlen p gilt 2p + 1 = k^3 mit k ∈ ℕ?

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