hallo etham,
bevor Du verzweifelst: rechne \(p\) doch einfach aus, indem Du die Gleichung umstellst. Aus \(2p+1=k^3\) folgt
$$p=\frac{k^3-1}{2}$$
Nun ist jede Primzahl aber auch eine ganze Zahl und folglich geht obige Gleichung nur auf, wenn \(k^3-1\) gerade bzw. \(k^3\) und damit \(k\) ungerade ist. Folglich kann man für \(k\) schreiben:
$$k=2n+1 \quad n \in \mathbb{N}_0$$
Einsetzen in die Gleichung für \(p\) gibt
$$p=\frac{(2n+1)^3-1}{2}=4n^3 + 6n^2 + 3n = (4n^2 + 6n + 3) \cdot n$$
und wenn \(n>1\) ist, kann \(p\) nie eine Primzahl sein, da \(p\) dann durch \(n\) teilbar ist. Bleibt nur \(n=1\), da \(n=0\) auch ausscheidet. Mit \(n=1\) wird \(k=3\) und \(p=13\) als einzige Primzahl, die obige Gleichung erfüllt.
