Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Satzes

Question

Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter, könnte mir jemand eine Erklärung mit Rechenweg dazu angeben?

Answer 1

Der Binomische Lehrsatz lautet

$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n x^{n-k} y^k {n \choose k} $$

wenn Du die rechte Seite der Gleichung mit dem Term \(\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}\) vergleichst, könnte man ja auf die Idee kommen, das \(y\) auf \(-1\) zu setzen. Dann stört nur noch das \(x^{n-k}\) - wenn ich aber zusätzlich \(x=1\) setze, ist dieser Faktor immer \(=1\) und kann daher entfallen. Es gilt also

$$0^n = (1 + (-1)) ^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}$$

und offensichlich ist dies for \(n>0\) immer identisch \(=0\).

Der Sonderfall \(n=0\) ist extra zu betrachten - es gilt immer \(0^0=1\).

Answer 2

Es ist

$$ -1 = 0+(-1) $$

Comments

Und warum? Hast du eine Erklärung und Rechenweg? Danke.

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Wie: "und warum?" Das ist angewendete Arithmetik aus dem 5. oder 6. Schuljahr und soll ein Tipp sein, wie man hier zu einem Binom kommt. Das braucht man vielleicht, wenn man den binomischen Lehrsatz verwenden will. Einen Rechenweg habe ich nicht, aber er wird sehr kurz sein!

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Entschuldige bitte, ihc habe noch einmal darüber nachgedacht. Der Weg wäre

$$ 0 = 0^n = (1-1)^n = \dots $$

Answer 3

Für n≥1 ist die Summe 0. Ohne (-1)^k wäre sie 2^k. Jeder zweite Summand ist für ein bestimmtes k negativ. Für ungerade k  gibt es zu jedem positiven Summanden einen Partner mit negativem Vorzeichen. Für gerade Zahlen k müsste es auch eine naheligende Begründung geben.