Die Winkel des nächsten Dreiecks können aus den Winkeln eines Dreieck mittels der Matrix \(M = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) durch eine Matrix-Vektor-Multiplikation berechnet werden: \(M\cdot \begin{pmatrix} 2\\4\\174\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\89\\88\end{pmatrix}\)
Bei der Matrix \(M\) handelt sich um eine sogenannte stochastische Matrix, das heißt in jeder Spalte ist die Summe der Einträge 1 und kein Eintrag ist negativ.
Stochastische Matrizen haben einen sogenannten Fixvektor, das heißt es gibt einen Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}\), so dass \(M\cdot \vec{v} = \vec{v}\) ist.
Multipliziert man \(M\) jeweils an das vorherige Ergebnis heran, dann bekommt man eine sogenannte Markow-Kette. In diesem speziellen Fall ist es eine irreduzible aperiodische Markow-Kette. Konsequenz ist einerseits, dass der Fixvektor bis auf die Spaltensumme eindeutig bestimmt ist (jedes Vielfache eines Fixvektors ist auch wieder ein Fixvektor).
Man kann leicht zeigen, dass der Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix}60\\60\\60\end{pmatrix}\) ein Fixvektor ist, also die Gleichung \(M\cdot \vec{v} = \vec{v}\) erfüllt. Wegen obiger Eindeutigkeit ist es der einzige Fixvektor mit Spaltensumme 180.
Weiter Konsequenz aus der Irreduzibilität und Aperiodizität ist, dass die Markow-Kette unabhängig vom Anfangsvektor gegen einen Fixvektor konvergiert.
Zusammengefasst ist es tatsächlich so, dass jedes Dreieck gegen ein gleichseitiges Dreieck konvergiert.
Das ganze ist in NRW Thema der Q2 auf dem Gymnasium, allerdings in einem anderen Zusammenhang und ohne die Begriffe "Irreduzibilität" und "Aperiodizität" (es wird einfach davon ausgegangen, dass der Schüler zu dumm ist, um zu entdecken, dass es auch reduzible und auch periodische Markow-Ketten geben kann).
