Dreieck lässt sich in n=> 2 rechtwinklige Dreiecke zerlegen.

Question

Ich versuche die im Titel stehende Behauptung mit Induktion zu beweisen, scheitere aber beim Induktionsschritt und sehe noch nicht so sehr, wie ich meine Voraussetzung nutzen kann.

Das hatte ich bisher.

Beweis (durch vollständige Induktion).

Induktionsanfang. Sei  n_0=2  und ein beliebiges Dreieck gegeben. Betrachte nun die längste Seite (die Grundseite) und fälle ein Lot auf diese Seite, sodass dieses durch den zur Grundseite gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Damit hat man zwei neue rechtwinklige Dreiecke erhalten, womit die Aussage für n=2 wahr ist.

Induktionsvoraussetzung. Es sei nun ein beliebiges Dreieck gegeben, was in n ≥ 2 rechtwinklige Dreiecke zerlegt ist, wobei n ≥ 2 beliebig, aber fest ist (IV).

Induktionsschritt. Dann kann auch ein beliebiges Dreieck in n+1 rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden.

Meine Idee war nun, einfach ein neues beliebiges Dreieck zu betrachten, welches schon gerade das Dreieck aus meiner IV mit enthält und wo auch dort schon n Zerlegungen vorliegen. Das Problem ist aber, dass ich damit zwei neue rechtwenklige Dreiecke hätte (siehe Bild)

Wo liegt mein Denkfehler?

Comments

EDIT: Und dann hätte ich n+2 rechtwinklige Dreiecke. Aber ich will ja n+1 haben.

Answer 1

Hallo

wenn du irgend ein Dreieck in 2 teilst, ist das ja weg, und du hast nur die 2 neuen -1 altes, genau wie am Anfang, da machst du doch auch aus 1 nicht 3 sondern 2.

Gruß lul

Comments

Nein, ich meine es so. Das orange Dreieck ist schon in n rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Nun nehme ich mir ein neues Dreieck, was auch mein zerlegtes Dreieck aus n Stücken enthält. Nun habs ich aber noch eine Restfläche (grün), die mich halt stört. Und diese kann ich doch nicht in ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen, sondern habe dann mindestens zwei neue rechtwinklige Dreiecke erhalten, was ungünstig ist.

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"Meine Idee war nun, einfach ein neues beliebiges Dreieck zu betrachten,"

Das ist die falsche Idee. Nimm das Dreieck, dass laut Induktionsvoraussetzung bereits in n Teildreiecke zerlegt wurde. Suche dir eins dieser Teildreiecke aus und zerlege es in zwei Teildreiecke. Damit erhöht sich die Anzahl von n auf n+1.