Menge x1 im Nutzenoptimum berechnen

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x₁ , x₂ )= x₁ ^0.8· x₂^0.6 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p₁ =1 und p₂ =2 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=810. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

Wie hoch ist die Menge x₁ in diesem Nutzenoptimum?

Comments

so habe ich sie probiert. Kann mir bitte jemand nachkontrollieren ob das stimmt

Answer 1

Stimmt. Du kannst aber in solchen Fällen auch

ganz gut eine Stichprobe machen (Das ist zwar kein

Beweis aber i. allg. ein Hinweis), wenn du

den Nutzen ausrechnest für dein Optimum. Das

gibt 1879,05

Und wenn du ein wenig davon abweichst, etwa

x=160 und y =324 ( denn x+2y=810 muss natürlich stimmen)

Da bekomme ich hier 1863,91, also etwas weniger "Nutzen",

auch das deutet darauf hin, dass deine Rechnung stimmt.

Answer 2

x = 0.8·810/(1·(0.8 + 0.6)) = 462.8571428

y = 0.6·810/(2·(0.8 + 0.6)) = 173.5714285

Kontrolle mit Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7Bx%5E0.8+y%5E0.6,+x+%2B+2+y+%3D%3D+810%7D,+%7Bx,+y%7D%5D%7D

Answer 3

\(U(x,y,λ )= x^{0,8}\cdot y^{0,6}+λ(x+2y-810)\)

1.)   \(U_x(x,y,λ )= 0,8x^{-0,2}\cdot y^{0,6}+λ\)

2.)   \(U_y(x,y,λ )= x^{0,8}\cdot 0,6 \cdot y^{-0,4}+2λ\)

3.)   \(U_λ (x,y,λ )= x+2y-810\)

1.)    \(0,8x^{-0,2}\cdot y^{0,6}+λ=0\)→  \(λ=-0,8x^{-0,2}\cdot y^{0,6}\)

2. \( x^{0,8}\cdot 0,6 \cdot y^{-0,4}+2λ=0\)

 →\( x^{0,8}\cdot 0,6 \cdot y^{-0,4}=1,6x^{-0,2}\cdot y^{0,6}\)

→\( \frac{0,6x^{0,8}}{ y^{0,4}}= \frac{1,6y^{0,6}}{x^{0,2}} \)

\( y= \frac{3}{8}x\)

3.)  \( x+2y-810=0\)

\( x=\frac{810\cdot 4}{7}=462,857143\) 

\( y= \frac{3}{8}\cdot \frac{810\cdot 4}{7}=173,571429\)

Comments

Man braucht hier keinen Lagrange, siehe beispielswiese Lösung von Benutzer Mathecoach (vor 8 [in Worten: acht] Jahren).

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Ja, aber nicht jeder kennt Cobbs-Douglas und ohne weitere Erklärung nur begrenzt hilfreich.

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Wenn eine Aufgabe anfängt mit

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet

dann sind das Ökonomisierende, und die kennen es. :)

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"Lagrange" ist nur eine notwendige Bedingung, liefert also nur Kandidaten für Extrema. Ob die gefundenen Stellen wirklich Extrema sind, und wenn, ob Maxima oder Minima, muss auf anderen Wegen gesichert werden.

Answer 4

$$U(x,y)=x^{0.8}y^{0.6} \text{ und } x = 810 - 2y \Longrightarrow U(y) = (810 - 2y)^{0.8}y^{0.6} \\ U‘(y) = -1.6(810 - 2y)^{-0.2}y^{0.6} + 0.6(810-2y)^{0.8}y^{-0.4} = 0 \Longrightarrow \\ \frac{8}{3}y=810 - 2y \Longrightarrow y= \frac{1215}{7} \Longrightarrow x = \frac{3240}{7}$$

Comments

Das ist ein vernünftiger elementarer Ansatz, aber auch nicht zu Ende gerechnet. Ist auch erstmal nur eine notwendige Bedingung.

Nebenbei: Prüf mal den Ableitungsstrich...

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Logisch - und lästig :-)

Daher wird bei diesen Aufgaben auch oft (wie auch hier) in der Aufgabenstellung bereits durch die Formulierung vorgegeben, dass ein solches Optimum existiert.