Vollständige Induktion Beweis n^4 - n ist gerade

Question

Meine bisherigen Überlegungen:

IA: n = 0

0^4 - 0 = 0 | 0 ist gerade

IV:

n^4 - n ist gerade

IB: n = n+1

(n+1)^4 - (n+1) ist gerade

Beim Induktionsschritt komme ich jetzt nicht weiter... Meine erste Überlegung war (n+1)^4 in (n+1)^2 * (n+1)^2 aufzuteilen, dann die binomischen formeln anzuwenden und es auszumultiplizieren, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob ich das überhautp machen "darf" und weiter bin ich damit auch nicht gekommen :/

Answer 1

Hi,

schreibe.

Es soll gelten:

2|n^4-n

Dann Deinen Induktionsanfang und -schritt. Das passt soweit.

Da kommst Du dann mit Deiner Methode auf:

(n+1)^4-(n+1) = n^4+4n^3+6n^2+3n

Das würde ich nochmals umschreiben, indem ich ein -n+n anfüge:

n^4+4n^3+6n^2+3n-n+n

Den roten Teil haben wir schon oben -> Der ist durch 2 teilbar. Für den Rest haben wir:

n^4-n + 4n^3+6n^2+4n = (n^4-n) + 2(2n^3+3n^2+2n)

Somit ist sowohl der erste Teil, als auch der letzte Summand durch 2 teilbar und die Aussage gezeigt.

Grüße

Comments

Dann war ich wohl doch nicht so ganz auf dem Holzweg, danke :)

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Nope, gar nicht ;).

Gerne