a, b, c, n ∈ ℕ. Es ist ggT(a,b)=1 und a·b = c^n . Zeige es gibt d, e ∈ ℕ mit a = d^n und b = e^n

Question

Hallo

ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest:

a, b, c, n ∈ ℕ. Es ist ggT(a,b)=1 und a·b = c^n . Zeigen Sie, dass d, e ∈ ℕ existieren, sodass  gilt: a = d^n und b = e^n.

Answer 1

Denek dir die  Primfaktorzerlegung von c.

Dann kommen in cⁿ alle Primfaktoren genau n Mal vor.

Genau die gleichen kommen in dem Produkt a*b vor , da a*b=cⁿ  

Da wegen ggt=1 a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben,

kommen auch in der PFZ von a, bzw. von b alle 

Primfaktoren genau n Mal vor. ( Oder es ist a oder b die

1, dann ist eh alles klar)

Nimm von diesen jeweils nur einen, dann hast du die PZL

von d und e.

Comments

Fiel mir gerade auf, dass man wohl noch etwas 

genauer argumentieren muss an der Stelle:

Denke dir die  Primfaktorzerlegung von c und 

fasse ggf. mehrere gleiche Primfaktoren p_i zu Potenzen

zusammen und nenne sie q_i.  So  entsteht c =  q₁*q₂*...*q_k  

Dann kommen in cⁿ alle Faktoren q_i  genau n Mal vor.

etc.