Seien a, b Element N, a > 1, b > 1 und ggT (a,b) = 1
Betrachten Sie d: ? \(ggT ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\quad ,\quad a+b) \)
a) Zeigen sie: d = 1, falls a + b ungerade
b) Bestimmen sie d für den Fall, dass a+b gerade ist.
Für b konnte ich ein Lösung bestimmen:
da a und b entweder beide gerade sein müssen oder beide ungerade sein müssen, kann man
a ersetzten für 2a und b mit 2b.
\(ggT ((2{ a })^{ 2 }+(2{ b) }^{ 2 }\quad ,\quad 2a+2b) \)
\(ggT (4\quad ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\quad ,\quad 2(a+b))\)
weil 2 (a+b) zweimal in \(4\quad ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) passt ist der ggT = 2
bei a wollte ich dies auf die gleiche Art und Weise zeigen:
da a+b ungerade sein soll muss eine Zahl gerade sein und eine Zahl ungerade man kann also ersetzten.
a = 2a+1 und b= 2b
löst man das ganze auf komme ich auf
\(ggT (4\quad ({ a }^{ 3 }+{ b }^{ 2 })+1\quad ,\quad 2(a+b)+1)\)
aber hier ist mir nicht klar wie ich beweisen kann das der ggT dann 1 ist.
Edit (Yakyu): Damit der Code richtig angezeigt werden soll setzte links und rechts vom Code "$$" bzw. im Fließtext "\(" "\)".
