Beweis kgV (a,b) = ab, wenn ggT (a,b) = 1

Question

Aufgabe:

Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV (a,b) zweier von Null verschiedener ganzer Zahlen a, b ∈ ℕ ist die kleinste natürliche Zahl m ∈ ℕ, so dass a|m und b|m. Zeigen Sie, dass kgV (a,b) = ab wenn ggT (a,b) = 1

Problem/Ansatz:

Beweiks: Annahme: a, b ∈ ℕ beliebig mit ggT (a,b) =  1

a = \( p1^{k1} \),....., \( pn^{kn} \)                    a = \( p^{n} \)  m ≥ n

b = \( p1^{l1} \),....., \( pn^{ln} \)                      b = \( p^{m} \)  KgV (n, 0, = \( p^{m} \) )

12 = 2² * 3 * \( 5^{0} \)                                    b | \( p^{m} \)

30 = 2 * 3* 5                                                  a |  \( p^{m} \)  = \( p^{n} \) * \( p^{c} \)

                                                                                            = \( p1^{c} \) * a

                                                                                            = D * a

kgV (a,b) = \( p1^{max {k1,l1}} \), ............., \( p1^{max {kn,ln}} \)    

ggT (a,b) = \( p1^{min {k1,l1}} \)                                         12 = 2² * 3

                                                                                           24 = 2³ * 3

                                                                                          kgV (12, 24) = 2³ * 2

a = \( p1^{k1} \),....., \( pn^{kn} \)

a = \( p1^{k1-1} \) * \( q1^{0} \) p2^{-k1} \( p2^{k2} \) * \( q2^{0} \) ...\(pn^{k*n} \)

b = \( p1^{0} \) * \( q1^{Li} \) p2^{2} \( p3^{0} \) * \( q2^{K} \) ...\(qn^{n-1} \)

kgV = \( p1^{k1} \) * \( q1^{L1} \) p2^{K2} \( p3^{K3} \) * \( q2^{L-2} \) ...\(pn^{K1} \) * \( qm^{Lm} \)

Das hat unser Übungsleiter als Beweis an die Tafel geschrieben. Ich bin ehrlich gesagt kaum mitgekommen und verstehe nichts wie Nachbars Lumpi. Wo ist hier gezeigt, dass ggT (a,b) = 1, bzw. wie zeigt man das generell?

Comments

Tipp: Es gilt kgV(a,b)·ggT(a,b) = a·b.

Answer 1

Das scheint mir ein indirekter Beweis zu sein, denn a und b haben beide die Primfaktoren p₁ bis p_n. Dann muss gezeigt werden, dass alle Exponenten k₁ bis k_n und l₁ bis l_n dieser Primfaktoren 0 sind, falls  kgV(a,b)=ab. Das sieht sehr umständlich aus.

Wegen  ggT(a,b) =1 haben a und b keinen Teiler t>1. Für teilerfremde Zahlen a und b ist ihr Produkt das kleinste gemeinsame Vielfache. Ich finde, dafür muss man nicht einen solchen Aufwand betreiben.