Zeigen Sie: was ggT und kgV sind

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

Sind n=p1^α1⋅p2^α2⋅…⋅pk^αk und  m=p1^β1⋅p2^β2⋅…⋅pk^βk schwache Primfaktorzerlegungen von n und m , dann gilt:

ggT(n,m)=p1^min{α1,β1}⋅p2^min{α2,β2}⋅…⋅pk^min{αk,βk}

kgV(n,m)=p1^max{α1,β1}⋅p2^max{α2,β2}⋅…⋅pk^max{αk,βk}

ggT(n,m)⋅kgV(n,m) =n⋅m

Problem/Ansatz:

Hi ich weiß hier leider gar nicht wie man das lösen kann, könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen? (ich hoffe man versteht wie ich das meine, ich konnte das hier schlecht schreiben)

Answer 1

Wenn du die Primfaktorzerlegung von n und m hast,

dann bedenke erst Mal: Jeder gemeinsame Teiler von

n und m enthält einen Primfaktor p nur dann, wenn er

sowohl in der PFZ von n als auch in der von m vorkommt.

Zweimal (also p^2 ) enthält der ggT  nur, wenn er auch bei

m und n zweimal enthalten ist. U.s.w. bis p^n

irgendwann in einer der beiden PFZ'en nicht mehr

enthalten ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das n größer ist

als das Min der beiden Exponenten bei der PFZ von n und m.

Wenn man das für jeden Primfaktor vom ggT macht, hat man

genau das Produkt der Primfaktoren mit den

jeweiligen Minima als Exponenten.

Beim kgV entsprechend für die Maxima. Denn wenn man einen

der Primfaktoren öfter nähme, wäre der mit dem Exponenten

1 kleiner immer noch ein gV, also das kgV noch nicht erreicht.

Für die letzte Gleichung brauchst du nur die Potenzgesetze

und die Einsicht     min(a,b)+max(a,b) = a+b

Comments

Hi, erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort :)

Das Thema ist tatsächlich noch etwas schwierig für mich weswegen ich noch nicht alles nachvollziehen konnte, also den Teil ab "Das ist genau dann der Fall, wenn das n größer ist als das

Min der beiden Exponenten bei der PFZ von n und m."

Also könntest du mir das vielleicht noch einmal etwas anders erklären oder hättest du ein Beispiel, weil ich verstehe noch nicht ganz, wie man das jetzt berechnen würde wenn da zb steht p1min{α1,β1}. Und wäre das so jetzt schon ein Beweis?

Sorry für die ganzen Fragen