Beweis a^k ist Erzeuger/ generiert Gruppe wenn ggT (k,n)= 1

Question

Hallooo,

Ich soll folgendes beweisen: Sei G=<a> eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Gegeben sei a^k,1≤k<n. Zeigen Sie: <a^k>=G ⇔ ggT(k,n)=1.

Mein Ansatz:

„⇐“: Da der ggT(k,n)=1 ist, gibt es Zahlen x,y∈ℤ mit xk+yn=1. Damit gilt a=a¹=a^xk+yn=(a^k)^x(aⁿ)^y=(a^k)^x da (aⁿ)=1 ist. ⇒ Für ein x gilt (a^k)^x=a. ⇒ Sei g∈G ein willkürlich gewähltes Element, dann gibt es eine Zahl i, so dass g=aⁱ und wir haben dann g=aⁱ=(a^k)^xi ⇒ <a>=<a^k> ⇒ <a^k>=G 

Aber wie beweise ich das ganze jetzt in die andere Richtung „⇒“. Also wenn ich von der Annahme ausgehe, dass <a^k>=G und zu ggT(k,n)=1 gelangen soll? Da ja durch <a^k>=G gilt <a^k>=<a>, ist a eine Potenz von a^k. Wir erhalten also a=(a^k)ⁱ=a^ki.

Aber wie komme ich jetzt von da, nach xk+yn=1 bzw. ggT(k,n)=1 ?

Answer 1

Aber wie komme ich jetzt von da, nach xk+yn=1 bzw. ggT(k,n)=1 ?

Vielleicht so:   Das x hast du ja schon mit  a^(x*k)=a

und ich meine mal gelernt zu haben:

Bei zyklischen Gruppen der Ordnung n ist für jedes

Element  a immer  a^n = e  (neutrales Element von G).

, also wäre das hier auch   a^n = e

Und mit dem  a^(x*k)=a hast du dann

a = a*e = a^(x*k) * a^n  = a^(x*k+n )

also x*k+n = x*k+1*n = 1 .

Mit y=1 hast du dann die gesuchte Gleichung.