Erzeuger und Primitwurzel bestimmen

Question

Aufgabe:

Ist \( \left(\mathbb{Z}_{12}^{*} ; \cdot\right) \) zyklisch? Begründen Sie Ihre Antwort!
Hat die Gruppe \( \left(\mathbb{Z}_{17}^{*} ; \cdot\right) \) Erzeuger? Beründen Sie Ihre Antwort! Wenn ja, so bestimmen Sie die Anzahl Erzeuger dieser Gruppe. Zeigen Sie, dass 3 eine Primitivwurzel in \( \left(\mathbb{Z}_{17}^{*} ; \cdot\right) \) ist. Nutzen Sie dies, um alle \( x \in \mathbb{Z}_{17} \) zu finden, die \( 7^{34} \cdot x \equiv 10(\bmod 17) \) erfüllen.

Problem/Ansatz:

Wie zeig ich das eine Gruppe zyklisch oder nicht zyklisch ist und wie macht man die letze Aufgabe. Vielaen dank schonmal für die Hilfe

Answer 1

Finde ein \(x\in \mathbb{Z}_{12}^*\) so dass \(\{x^n | n\in \mathbb{n}\} = \mathbb{Z}_{12}^*\) ist. Weil \(\mathbb{Z}_{12}^*\) endlich ist, musst du dazu nur endliche viele Kandidaten ausprobieren. Wenn du ein geeignetes \(x\) gefunden hast, dann ist \( \left(\mathbb{Z}_{12}^{*} ; \cdot\right) \) zyklisch und \(x\) ist ein Erzeuger. Ansonsten ist \( \left(\mathbb{Z}_{12}^{*} ; \cdot\right) \) nicht zyklisch.