Bestimmen Sie Ker(A) und stellen Sie ihn als Spannraum dar. Geben Sie eine Basis von Ker(A) an

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \)
(a) Verwenden Sie das Gauss-Verfahren, um den Rang \( \operatorname{rg}(A) \) und eine Basis \( B \) von \( \operatorname{Col}(A) \) zu bestimmen. (Bestimmen bedeutet, die Ergebnisse sind kurz zu begründen.)
(b) Zeigen Sie, dass der Vektor \( w=(1,-2,0,1)^{T} \) in \( \operatorname{Col}(A) \) liegt, und bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( w_{B} \) bezüglich der Basis \( B \) von \( \operatorname{Col}(A) \) aus (a).
(c) Bestimmen Sie Ker \( (A) \) und stellen Sie ihn als Spannraum dar. Geben Sie eine Basis von \( \operatorname{Ker}(A) \) an.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung von diesem Thema, könnte mir jemand dabei helfen?

Comments

Hallo

wie kommt man zu der Aufgabe wenn gilt "Ich hab keine Ahnung von diesem Thema"

Helfen heisst ja,  man setzt voraus dass die Fragende was von dem Thema versteht, und nur an einer bestimmte Stele was nicht kann oder verstanden hat.

Wie kannst du sonst Hilfen verstehen?

Also sag genauer was du nicht verstehst oder kannst,

bedeutet Col(A) der Span der Spaltenvektoren?

Gruß lul

Answer 1

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

2. Zeile minus erste und 3. Zeile minus 2 mal erste.

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

3. Zeile minus 2. Zeile

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

4. minus 3.

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)

1. 2. und 4. Spalte bilden eine Basis von \( \operatorname{Col}(A) \).

w = 1* 1. Spalte + (-2)*2. Spalte + 1* 4. Spalte

also w_B = ( 1,-2,1)^T .

\( \operatorname{Ker}(A) \) = < \(\left(\begin{array}{cccc} -3 \\ -1 \\ 1 \\  0 \end{array}\right) \) >

Basis ist also \( \left(\begin{array}{cccc} -3 \\ -1 \\ 1 \\  0 \end{array}\right) \) .