Aloha :)
In deiner Matrix ist die \(z\)-Koordinate der Spaltenvektoren immer \(0\), sodass sie weder eine Basis des \(\mathbb R^3\) sein kann noch die Menge \(U\) aufspannen kann. Gehen wir die Aufgaben mal der Reihe nach durch:
a1) Spannraum angeben:
$$\left(\begin{array}{c}a+3b-8c\\a-b+4c\\2a-b+5c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\a\\2a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3b\\-b\\-b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-8c\\4c\\5c\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}a+3b-8c\\a-b+4c\\2a-b+5c\end{array}\right)}=a\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-1\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}-8\\4\\5\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{span}(U)=\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-8\\4\\5\end{array}\right)\right)$$a2) Basis angeben:
Wir müssen die Vektoren im Span auf lineare Unabhängigkeit untersuchen und auf linear unabhängige Vektoren reduzieren. Dazu tragen wir die Spaltenvektoren in eine Matrix ein und bringen diese auf Dreieckform:
$$\left(\begin{array}{r}& -3S_1 & +8S_1\\\hline1 & 3 & -8\\1 & -1 & 4\\2 & -1 & 5\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{r}& & +3S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -4 & 12\\2 & -7 & 21\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\1 & -4 & 0\\2 & -7 & 0\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{basis(U)}=\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\7\end{array}\right)\right)$$Beachte bitte, dass die Basis nicht eindeutig ist. Wegen$$\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}= 3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\7\end{pmatrix}$$kannst du einen der beiden Basisvektoren auch durch \((3|-1|-1)^T\) ersetzen.
a3) Zu einer Basis des \(\mathbb R^3\) ergänzen:
Wir benötigen 3 Baisvektoren, also müssen wir die Basis von \(U\) um einen Vektor aufstocken, und zwar so, dass die Determinante der Matrix aus den 3 Basisvektoren \(\ne0\) ist. Am einfachsten eignen sich zum Auffüllen die kanonischen Basisvektoren, die probieren wir durch:$$\det\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 1\\1 & -4 & 0\\2 & -7 & 0\end{array}\right)=1\cdot(-7)-2\cdot(-4)=1\ne0\quad\checkmark$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{Basis(\mathbb R^3)}=\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right)$$
b1) Prüfen, ob \(\vec v=(-1|2|2)^T\in U\):
Genau dann, wenn in einer Matrix voneiander abhängige Vektoren enthalten sind, ist ihre Determinante \(=0\). Das haben wir bei a3) ausgenutzt, um sicher zu stellen, dass wir 3 linear unabhängige Vektoren in der Basis haben (Determinante \(\ne0\)). Jetzt prüfen wir mit der Determinante, ob die beiden Basisvektoren von \(U\) und der Vektor \(\vec v\) linear abhängig sind oder nicht:$$\det\left(\begin{array}{r}1 & 0 & -1\\1 & -4 & 2\\2 & -7 & 2\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\1 & -4 & 3\\2 & -7 & 4\end{array}\right)=(-4)\cdot4-(-7)\cdot3=5\ne0$$Damit sind alle 3 Spaltenvektoren linear unabhängig, d.h. wir können \(\vec v\) nicht durch die Basis von \(U\) ausdrücken, also gilt: \(\vec v\not\in U\).
b2) Das Tupel \((\vec v,2\vec v)\) zu einem Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\) erweitern:
Wir haben gerade gezeigt, dass die \(\vec v \ne U\) gilt, damit bilden \(\vec v\) und die Basis von \(U\) eine Basis des \(\mathbb R^3\). Der Vektor \(2\vec v\) ist parallel zu \(\vec v\) und ist daher linear abhängig von \(\vec v\). Wir brauchen also das Tupel nur um die beiden Basisvektoren von \(U\) zu ergänzen, um den \(\mathbb R^3\) aufspannen zu können:
$$\operatorname{span}(\mathbb R^3)=\left(\left(\begin{array}{c}-1\\2\\2\end{array}\right),2\left(\begin{array}{c}-1\\2\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\7\end{array}\right)\right)$$
