Ordnung eines Elements aus einer zyklischen Gruppe mit ggT berechnen

Question

Aufgabe:

Es sei \( G \) eine endliche zyklische Gruppe mit neutralem Element \( e . \) Die Ordnung von \( G \) sei \( |G|= \) \( n \in \mathbb{N} . \) Das Element \( g \) sei ein Erzeuger von \( G, \) d.h. es gelte \( G=\langle g\rangle=\left\{g, g^{2}, \ldots, g^{n-1}, g^{n}=e\right\} \) Zeigen Sie:
a) Für ein Element \( g^{m} \in G \) mit \( 1 \leq m \leq n \) gilt \( \left|\left\langle g^{m}\right\rangle\right|=n / \operatorname{ggT}(m, n) \).

Ansatz:
Mein Idee waere eine zyklische Untergruppe U zu definieren, die von g^m erzeugt wird. Wenn ich nun zeigen koennte, dass |U| = ggT(m,n) waere, dann wuerde daraus folgen, dass n/ggT(m,n) ≡ |G|/|U| gilt und mit dem Satz von Lagrange argumentieren, dass die Behauptung zutrifft. Jedoch faellt mir nicht ein wie ich |U| = ggT(m,n) zeigen kann.

Kann mir eine von euch sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin?

Answer 1

Sei \(a\in\mathbb{N}\) die kleinste Zahl, für die es ein \(b\in\mathbb{N}\) gibt, so dass \(am=bn\) ist. Dann ist

        \(am =\operatorname{kgV}(m,n)\).

Wegen \(\operatorname{kgV}(m,n)\cdot\operatorname{ggT}(m,n) =n\cdot m\) ist

        \(am =\frac{n\cdot m}{\operatorname{ggT}(m,n)}\)

und somit

        \(a =\frac{n}{\operatorname{ggT}(m,n)}\).

Außerdem ist \(a\) die kleinste positive Zahl, für die \(g^{am} = e\) ist. Somit ist \(\left|\left<g^m\right>\right| = a\).

Wenn ich nun zeigen koennte, dass |U| = ggT(m,n) waere

Das ist es selten. Oft ist aber |U| = n/ggT(m,n).