Determinante einer n × n Matrix berechnen [ a_ij = i + j ; ..... ]

Question

Aufgabe:

$$ A\quad \in \quad { M }_{ nn }(Z)\quad und\quad sei\quad { a }_{ ij }\quad =\quad i\quad +\quad j\quad ,\quad 1\quad <\quad i\quad ,\quad j\quad <\quad n\\ \\ Brechnen\quad Sie\quad det(A).\quad Wann\quad ist\quad A\quad invertierbar?\\$$

Heraus habe ich dass für n > 3 ist die Det gleich Null. Also bleiben nur noch einfach zu berechnende Determinanten übrig. Nur weiß ich nicht ob die Lösung stimmt? Falls ja, muss ich das besser erklären warum bei n > 4 die Det gleich Null ist und bei n < 4 die Determinanten ausrechnen? Da wären dann noch die variablen Werte der unbekannten Einträge dabei. Deswegen habe ich die Vermutung dass es vielleicht falsch ist.
Es steht berechnen, kann man dann ausführliche Erläuterungen weglassen?


   

Comments

Hast Du mal versucht, die ersten fuenf, sechs Matrizen explizit hinzuschreiben? Da kann man einfache Muster erkennen.

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1 < i j < n zb in Spalte 1: n=5 (ungerade) 3 , 4 , 5 , 6:  3+6 = 4+5 ,

n=4 (gerade) 3 ,4 , 5: 3+5 = 4/2 , und dass bedeutet das n < 4 sein muss

oder meintest du was anderes?

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Also mir ist aufgefallen, dass erste Zeile + vierte Zeile = zweite Zeile + dritte Zeile immer stimmt, wenn es wenigstens vier Zeilen gibt.

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und dann entsteht ja wiederum eine nullzeile in 1 < i j < n

angenommen n = 4
Z2 := Z2+ Z(n) , Z3 := Z3 + Z(n-1) also 2. Z3 wenn man dann für gerade n noch sagt Z3 := Z3 * (1/2) dann kann man sie ja auch wieder von einander abziehen oder? soll ich das noch ergänzen?

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Heißt es tatsächlich \(a_{ij}=i+j\) für \(\color{blue}{1< i,j< n}\) ?

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ja wirklich:

 

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habe mich verschrieben angenommen n = 4
Z2 := Z2+ Z(n) , Z3 := Z3 + Z(n-1) also 2. Z3 der rest kann weg

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Die erste und n-te Zeile/Spalte enthalten beliebige ganze Zahlen?

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ja genau zumind. habe ich das auch so verstanden eine abbildung der matrix gibt es nicht

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Für n = 4 hieße das dann also \(A_4=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&4&5&a_{24}\\a_{31}&5&6&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}\).
Sicher, dass es nicht \(1\le i,j\le n\) heißen sollte?

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1 < i:

a_21 i=2 ? da müsste doch dann zb auch eine eine summe aus i+j rein

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ja ganz sicher ich hab den text kopiert, nicht selbst geschrieben...

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die matrix die ich angelegt hab ich leider nicht besser hinbekommen mit dem editor, sie ist nicht unterteilt hat nur außen eine große klammer

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i = 2 stimmt, aber es ist j = 1 und a₂₁ nicht definiert.

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so habe ich es noch gar nicht gelesen ich dachte 1 < i   und separat  j < n

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Meine Interpretation war 1 < i < n und 1 < j < n.

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ok. kommt mir jetzt auch komisch vor da die klammer direkt dahinter kommt und gleich das neue zeichen erscheint. wäre es aber trotzdem richtig so wie ich es interpretiert habe?

wie würde es aussehen wenn 1 < i < n und 1 < j < n gilt? für beliebiges n fällt mir da nicht wirklich etwas ein.

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Dann wären wie oben erwähnt die erste und letzte Zeile/Spalte beliebig.
Sinn macht die Aufgabe meines Erachtens nur, wenn a_ij = i + j für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ n definiert ist.

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weißt du warum ich es so gelesen habe: sei i +j für alle 1 < i , j < n

statt sonst: gilt i + j für 1 < i,j < n

doof : / ich kann leider nicht nachfragen ob da ≤ gemeint ist oder etwas anders