Vollständige Induktion: Term durch 3 teilbar

Question

Beweise, dass $${ 2 }^{ 3n }-{ 5 }^{ n }$$ durch 3 teilbar ist.

Ich komme irgendwie nicht weiter.

IA: Für n=1 ergibt sich 8-5=3, stimmt also.

IS: von n auf n+1 schließen:

$${ 2 }^{ 3(n+1) }-{ 5 }^{ n+1 }={ 2 }^{ 3n+3 }-{ 5 }^{ n+1 }$$

$$={ 2 }^{ 3n }\cdot { 2 }^{ 3 }-{ 5 }^{ n }\cdot { 5 }^{ 1 }=8\cdot { 2 }^{ 3n }-5\cdot { 5 }^{ n }$$

$$=7\cdot { 2 }^{ 3n }+1\cdot { 2 }^{ 3n }-4\cdot { 5 }^{ n }-1\cdot { 5 }^{ n }={ 2 }^{ 3n }-{ 5 }^{ n }+7\cdot { 2 }^{ 3n }-4\cdot { 5 }^{ n }$$

Jetzt bin mit meinem Latein am Ende. Die beiden ersten Glieder der letzten Gleichung entsprechen der Annahme (sind also durch 3 teilbar), aber wie beweise ich das bei den letzten beiden Gliedern?

Wer kann mir hier weiterhelfen?

Comments

einfach nochmal den gleichen schritt: 7 * 2³ⁿ - 4 * 5ⁿ = 2³ⁿ - 5ⁿ + 6 * 2³ⁿ  - 3 * 5ⁿ = 2³ⁿ - 5ⁿ + 3(2 * 2³ⁿ  - 5ⁿ)

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oder gleich so : 2(2³ⁿ - 5ⁿ⁾ + 3(2 * 2³ⁿ  - 5ⁿ)

Answer 1

8·2³ⁿ - 5·5ⁿ

= 3·2³ⁿ + 5·2³ⁿ - 5·5ⁿ

= 3·2³ⁿ  + 5·(2³ⁿ - 5ⁿ)

3·2³ⁿ ist durch 3 teilbar, weil 3 in der Primfaktorzerlegung auftaucht.

5·(2³ⁿ - 5ⁿ) ist durch 3 teilbar, weil (2³ⁿ - 5ⁿ) laut Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar ist.

Also ist auch ie Summe durch 3 teilbar.

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Ich bin jetzt gerade auch auf diese Lösung gekommen, aber trotzdem danke für den Lösungsweg.