Ungleichungen mit Betrag. Bestimmen Sie die folgenden Mengen: M1:= { x Element R : |x| ≤ 1/2 x + 1 }

Question

kann Jemand mir  mit dieser Aufgabe helfen

Answer 1

|x| ≤ 1/2 * x + 1

1.Fall x ≥ 0
es gilt
x ≤ 1/2 * x + 1
1/2 * x ≤ 1
x ≤ 2

2.Fall
es gilt
x*(-1) ≤ 1/2 * x + 1
-3/2 * x ≤ 1  | * -2/3
x ≥ - 2/3

Fall 1 und 2 zusammen
-2/3 ≤ x ≤ 2

Die Lösung wurde graphisch überprüft
und stimmt.

Comments

| 2x - 4 | > 1/2

1.Fall
2x - 4 ≥ 0
x ≥ 2
Es gilt
2x - 4 > 1/2
x > 9/4
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ 2 ) und ( x > 9/4 )
x > 9/4

2.Fall
2x - 4 < 0
x < 2
Es gilt
( 2x - 4 ) * (-1) > 1/2
-2x + 4  > 1/2
2x < 7/2
x < 7/4
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 2 ) und ( x < 7/4 )
x < 7/4
Fall 1 und 2
( x < 7/4 ) und  ( x > 9/4 )

---

| x -1 | ≤ | 3x - 6 |

Beide Seiten sind positiv.
Es gilt auch
( x -1 )^2 ≤ ( 3x - 6 )^2
x^2 - 2x + 1 ≤ 9x^2 - 36x + 36
8x^2 - 34x + 35 ≥ 0
x^2 - 17/4x ≥ -35/8
x^2 - 17/4x + (17/8)^2 ≥ -35/8 + 289/64
( x - 17/8 )^2 ≥  9/64

x - 17/8 > + 3/8
x  > 5 / 2
und
x - 17/8 < -3/8
x < 7 / 4

Zusammen
( x < 7 / 4 ) und ( x > 5/ 2 )

---

> ( x < 7 / 4 ) und ( x > 5/ 2 )   

so ist das falsch,  das wäre die leere Menge!

x  ≤  7 / 4    oder    x  ≥  5/2 

L =  ] - ∞ ; 7/4 ]  ∪  [ 5/2 ; ∞ [