Zeigen Sie: Wenn a|bc und ggT(a;c) = 1, dann a|b. Hinweis: Benutzen Sie Primfaktorzerlegungen.

Question

Weiß jemand wie diese Frage zu verstehen ist bzw. wie ich das mit Hilfe der Primfaktorzerlegung lösen kann? Ich habe schon gesehen das es viele Antworten auf die Frage gibt allerdings nie mit der Primfaktorzerlegung bzw. wenn dann habe ich sie nicht erkannt (ich hatte vor der Aufgabe noch nicht wirklich damit zu tun)

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Hauptsatz der Elementaren Zahlentheorie. Jede natürliche Zahl > 1 hat eine einzige Primfaktorzerlegung.

Konsequenz daraus: Wenn ggt(a,b) = 1 gilt, dann kommt keine Zahl der Primfaktorzelegung von a in der Primfaktorzerlegung von b vor.

> Wenn a|bc ...

Dann kommen alle Faktoren der Primfaktorzerlegung von a auch in bc vor.

> ... und ggT(a;c) = 1

dann kommt kein Primfaktor von a in der Primfaktorzerlegung von c vor. Also müssen alle Primfkatoren von a in der Primfaktorzerlegung von b vorkommen.

Also muss a|b gelten.

Answer 2

wenn a|bc gilt, dann kommen in der Primfaktorzerlegung von a alle

Primfaktoren mit mindestens der Vielfachheit vor, wie sie im Produkt

bc vorkommen.  Wegen ggt(a,c) = 1 , haben a und c überhaupt keine

gemeinsamen Primfaktoren, also stecken die von a alle in dem b und

damit a|b.