Reelle Lösung des AWP bestimmen DGL System y'(t) = Ay(t) + f(t) , A:=((0,1),(-4,0), … Oszillator

Question

könnte mir jemand folgende Aufgaben erklärend vorrechnen? Dankeschön.

(a) Bestimmen Sie das Fundamentalsystem des AWPs in reeller Form.

(b) Bestimmen Sie die reelle Lösung des AWPs, wenn f(t) := (0, d)^T mit d ∈ R.

(c) Bestimmen Sie die reelle Lösung des AWPs, wenn u0, v0 := 0 und f(t):=(0,sin(2t))^T

Hinweis: Hilfreiche trigonometrische Formeln:

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± sin(y) cos(x),

cos(2x) = 1 − 2 sin^2(x)

 cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y).

Comments

(a) Bestimmen Sie das Fundamentalsystem des AWPs in reeller Form.

Vielleicht bestimmst Du erstmal ein komplexes Fundamentalsystem (nach der ueblichen Methode: Alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren ausrechnen). Danach kannst Du Dir ueberlegen, wie man daraus ein reelles gewinnt.

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Auch hierzu gibt es natuerlich wieder Alternativen, denn wie die Ueberschrift schon andeutet, ist das System der Aufgabe aequivalent zu einer linearen Dgl. zweiter Ordnung. Welche sieht man durch Ausschreiben und kennen tut man sie schon aus der Schule.

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Ich habe das komplexe FS bestimmt. Wie gewinne ich daraus ein reelles?

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Eigenwerte: { -2î ;  2î }

Eigenvektoren zum Eigenwert -2î: [ î ; 2]^T

zum Eigenwert 2î:  [ -î ; 2 ]^T

Und wie geht es weiter?

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Sei z' = Az ein System mit reellem A und komplexer Lösung z = x + iy.

Setze ein und sortiere beide Seiten nach Real- und Imaginaerteil.

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ich brächte bei c) hilfe. Ich glaube, dass ich das total falsch gerechnet habe. Könntest du mir das richtige aufschreiben??

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Meine vorige Rechnung und mein Fundementalsystem

Answer 1

Hallo,

a)

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