Zwei gerade Straßenstücke sollen durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion möglichst glatt verbunden werden.

Question

Aufgabe:

Zwei gerade Straßenstücke sollen durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion möglichst glatt verbunden werden. Bestimmen Sie die Trasse in der Abbildung unter der Bedingung, dass die Strassenteile tangential ineinander übergehen.

Ich verstehe nicht was gesucht ist ... also wie ich vorgehen soll, was ich suchen oder bestimmen (aus der Figur rauslesen) soll .

Answer 1

Hi,

Also die Steigung der Strecken ist 1 bzw. -1. Der Mittelpunkt sei genau in der Mitte.

Ich nehme eine Funktion 2ten Grades.


f(50) = 50

f'(50) = -1

f(-50) = 50


2500a + 50b + c = 50

100a + b = -1

2500a - 50b + c = 50


Das Gleichungssystem hab ich jetzt in den GTR gehackt:

a = -0,01 und c= 75 (wegen der Symmetrie wäre b=0 sofort klar, der Rest ist dann einfach auszurechnen)


f(x) = -0,01x^2+75 wäre eine mögliche Trassierung.

Grüße

Comments

Habe aber eine Frage dazu. Wenn der Mittelpunkt genau in der Mitte ist sollte dann die zweite Bedingung nicht anstatt  f'(50) = -1 , so aussehen : f'(100) = -1  ?

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Nope. Ich bin ja an der Spitze B interessiert. Diese ist 50 m vom Mittelpunkt entfernt ;).

Also mit Mittelpunkt meine ich die Hälfte der Strecke, die mit 100 m ausgeschrieben ist.

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wie kommt man denn eigentlich dadrauf Funktion zweiten Grades zu nehmen ?

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Man fängt so klein an wie möglich und hofft, dass man alle Bedingungen erfüllen kann. Das war hier schon beim 2ten Grad möglich.

Answer 2

\(A(-50|0)\)   \(B(50|0)\)

\(f(x)=a(x+50)(x-50)=a(x^2-2500)\)

\(f'(x)=2ax)\)

\(f'(-50)=-100a=1\)    \(a=-\frac{1}{100}\)

\(f(x)=-\frac{1}{100}(x^2-2500)\)

Comments

Eine schöne Lösung für dieses Problem wäre doch auch, eine Bezierkurve zu konstruieren. Dazu fügt man einen dritten Punkt \(C\) ein, der der Schnittpunkt der Verlängerungen durch die Punkte A und B ist. Anschließend wird zweimal schlicht linear interpoliert.

So wie hier:

den Punkt \(C\) kann man auch verschieben!

ganz allgemein gilt:$$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(t) = \left(A\left(1-t\right)+Ct\right)\left(1-t\right)+\left(C\left(1-t\right)+Bt\right)t$$und wenn man das \(t\) eliminiert, kommt natürlich das selbe heraus$$y = -\frac{x^2}{100} +75$$