Glatt bzw. analytisch: Könnte jemand bei b und c helfen?

Question

Glatt vs. analytisch. Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \),

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-1 / x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right. \)
(a) Zeigen Sie, dass \( f \) stetig differenzierbar ist.
(b) Beweisen Sie, \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \), indem Sie durch Induktion zeigen, dass für \( n \in \mathbb{N} \) und \( x>0 \) gilt
\( f^{(n)}(x)=x^{-2 n} p_{n}(x) e^{-1 / x} \)
für ein geeignetes Polynom \( p_{n} \).
(c) Entwickeln Sie \( f \) in eine Taylor-Reihe um \( \xi=0 \). Wo stimmt diese mit der Funktion überein?

Comments

Könnte jemand bei b und c helfen?

Es ist nicht ungewöhnlich und keine Schande, wenn jemand bei einem Induktionsbeweis nicht weiter kommt. Aber: Hast du denn tatsächlich nicht einmal den Induktionsanfang hinbekommen??

Was c) betrifft: Selbst wenn du es nicht hinbekommen solltest, die Formel bei b) zu beweisen.

Die Formel als solche ist da.

Die in der Formel beschriebenen Ableitungen kannst du für jedes n in der Taylor-Entwicklung verwenden.

Answer 1

Induktionsanfang

$$ f'(x) = e^{-\frac{1}{x}}x^{-2} $$ Das pass also. Weisst Du wieso?

Induktionsschluß

$$ f^{(n+1)}(x) = \frac{ d}{dx}{ f^{(n)}(x) } = e^{-\frac{1}{x}} \left[ (-2n)x^{-2n-1} p_n(x)  + x^{-2n} p'_n(x) + x^{-2n-2} p_n(x) \right]  $$

Passt also auch. Weisst Du wieso?

Taylorreihe

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ f^{(n)}(0) }{n!} x^n $$

Die n-ten Ableitungen hast Du ja schon. Jetzt musst Du nur noch \( \lim_{x\to 0^+} f^{(n)}(x) \) bestimmen und Du bist fertig.

Comments

Siehe auch hier

https://de.wikiversity.org/wiki/Platte_Funktion/exp_-1_durch_x/Taylor-Reihe/Beispiel