Wie sollte diese Verbindung gestaltet sein, damit die Übergänge möglichst glatt und störungsfrei verlaufen?

Question

Aufgabe:

Zwei geradlinige, zueinander parallel verlaufende Gleisstücke sollen durch ein Teilstück miteinander verbunden werden. Wie sollte diese Verbindung gestaltet sein, damit die Übergänge möglichst glatt und störungsfrei verlaufen?

a) Ermitteln Sie ein passendes Polynom dritten Grades. Begründen Sie, dass in (-1|1) und (1|-1) ein Krümmungsruck vorliegt.

Problem/Ansatz:

Anhand des Graphen werden die Bedingungen deutlich:

f(1)= -1

f(-1)=1

f'(1)= 0

f' (-1)= 0

Als Funktion habe ich zuletzt f(x)= 1/2x³-3/2x² erhalten.

Wie begründe ich jetzt, dass ein Krümmungsruck vorliegt?

Answer 1

Wenn die Parallelen y=1 und y=-1 die Straßen darstellen, ist deine Funktionsgleichung des passenden Polynoms dritten Grades richtig.

Da, wo jeweils eine Gerade mit dem Polynom einen gemeinsamen Punkt mit der gleichen Steigung hat, also in (-1|1) und (1|-1) ist der Krümmung der Geraden gleich Null, nicht aber die Krümmung des Polynoms.

Comments

Wenn ich das also richtig verstehe, nimmt man von dem Polynom zunächst die zweite Ableitung:

f''(x)= 3x

und setzt dann die Punkte ein:

f"(1)=3*1=3

f"(-1)=3*(-1)= -3

-3 ist nicht gleich 3 und deswegen liegt ein Krümmungsruck vor.

Ist das so richtig? :)

Answer 2

Ein Krümmungsruck liegt vor, wenn an der Anschlussstelle die zweiten Ableitungen der beiden treffenden Funktionen nicht übereinstimmen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hatte ich bereits gelesen nur komme ich mit diesem Tipp irgendwie nicht weiter. Die beiden Funktionen an den Anschlussstellen sind f(x)= 1 und f(x) = -1 glaube ich. Dann wäre die zweite Ableitung nun mal bei beiden 0. Es geht doch um die beiden Funktionen die verbunden werden müssen oder?

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Die zweite Ableitung der Polynomfunktion ist f ''(x)=3x, hat also nur an der Stelle x=0 den Wert Null.

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Die beiden Funktionen an den Anschlussstellen sind f(x)= 1 und f(x) = -1 glaube ich.

Es wäre gut, wenn du nicht jede Funktion, die dir über den Weg läuft, \(f\) nennen würdest. Stell dir mal vor, jeder Mensch auf der Welt würde Tammo heißen. Dann könnte man auf Namen vollständig verzichten, weil sie als Unterscheidungsmerkmal nutzlos geworden sind.

Im Punkt (-1|1) treffen sich zwei Funktionen. Deren zweite Ableitungen habe ich gemeint.

Im Punkt (1|-1) treffen sich zwei Funktionen. Deren zweite Ableitungen habe ich gemeint.

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Gutes Beispiel, muss ich ihnen lassen. Also nennen wir mal die obere Funktion f, die mittlere als Verbindung g und die untere h.

f(x)= 1

g(x)= -x

h(x)= -1

Wenn ich nun von diesen Funktionen die 2. Ableitung bilden würde, wäre das Ergebnis bei jeder Funktion wieder 0 und man würde keinen Unterschied sehen. Meine Inkompetenz tut mir wirklich leid aber irgendwie leuchtet mir es nicht ganz ein.

Answer 3

Deine Funktion ist falsch

Das Verbindungsstück hat hat die Funktion
f(x) = 0.5 * x^3 - 1.5 * x
Steigung
f ´( x ) = 1.5 * x^2 - 1.5
Krümmung
f´´ ( x ) = 3 * x

Krümmung bei
f ´´ ( -1) = - 3
f ´´ ( 1) = 3

Die Krümmung der Geraden ist stets 0
( haben Geraden so an sich )

Die Krümmung hat bei den zu verbindenden
Gleistücken einen Krümmungsruck.
Von null auf -3
von 3 auf null