Bijektion zwischen Intervallen zeigen

Question

ich soll jeweils die Bijektion zwischen den Intervallen (0,1)  und (0,∞)

und die Bijektion zwischen (-1,1) und den Reellen Zahlen zeigen.

Kann mir da einer weiterhelfen?

Answer 1

> die Bijektion zwischen den Intervallen (0,1)  und (0,∞)

\(f(x) := \frac{1}{x} - 1\)

> zwischen (-1,1) und den Reellen Zahlen

\(f(x) := \begin{cases}\frac{1}{x}+1&x < 0\\0&x=0\\\frac{1}{x}-1&x> 0\\\end{cases}\)

Comments

Alles klar, danke. In der Aufgabe stand, dass ich eben für diese beiden Intervalle eine Bijektion angeben soll.

Ich bin mir jetzt aber nicht sicher, ob ich auch zeigen soll, ob es sich tatsächlich um eine Bijektion handelt also f(x)=f^-1(x).

Aber die Umkehrfunktion zu f(x)=1/x-1 wäre doch f'(x)= 1/(1+x)?

---

> ob ich auch zeigen soll, ob es sich tatsächlich um eine Bijektion handelt

Normalerweise ja. Außer das Niveau ist nicht nur in der Schule, sondern auch im Studium massiv gesunken.

> also f(x)=f^-1(x)

Das ist nicht die Definition von Bijektion.

> Aber die Umkehrfunktion zu f(x)=1/x-1 wäre doch f'(x)= 1/(1+x)?

Ja, das ist richtig. Du brauchst aber nicht die Umkehrfunktion anzugeben um zu zeigen dass eine Funktion bijektiv ist.

---

Ja du hast recht. Hätte mich sonst auch gewundert.

Ich muss ja jetzt für f(x)=1/x-1 Injektivität und Surjektivität zeigen.

Injektivität:

f(x)=f(y)-> x=y

Hier also: 1/x-1=1/y-1 daraus folgt x=y.

Surjektivität

f(x)=y mit x=1/(1+y) -> f(x)=f(1/(1+y)=1/(1/(1+y))-1=y

Wie kann ich das ganze den nun für

$$ f(x) := \begin{cases}\frac{1}{x}+1&x < 0\\0&x=0\\\frac{1}{x}-1&x> 0\\\end{cases} $$

zeigen? (Ich habe ja hier schon für 1/x+1 die Bijektivität gezeigt. Für 1/x-1 habe ich das ganze auch bereits gezeigt).

---

Kann mir hier vielleicht noch jemand kurz helfen?

---

Ist x > 0, dann ist f(-x) = 1/(-x) + 1 = (1-x)/(-x) = -1/x - x/(-x) = - (1/x - 1) = -f(x)

Außerdem ist f(0) = 0.

Also ist die Funkton ungerade.

Es genugt deshalb. Bijektivität auf von (0,1) → (0, ∞) nachzuweisen.

Answer 2

Bijektion zwischen den Intervallen (0,1)  und (0,∞)

f(x) = arctan( x*pi / 2 )   ~plot~ tan(pi*x/2) ~plot~

Bijektion zwischen (-1,1) und den Reellen Zahlen

Nimm den gleichen Funktionsterm.