Wie hoch wäre dann nach 5 Jahren noch verfügbare Deponieraum?

Question

Die Mülldeponie einer Gemeinde hat ein Fassungsvermögen von 102 000 m³. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt hat die Gemeinde 4000 Einwohner, von denen jeder 4 m³ Müll pro Jahr deponiert. Die Einwohnerzahl steigt um 320 Einwohner pro Jahr. Die Berechnung des Umweltgemeinderates ergibt, dass unter diesen Voraussetzungen die Deponie nach etwa 5 Jahren geschlossen werden müsste. Wenn es allerdings gelänge, die Müllproduktion pro Einwohner um 10 Prozent zu drosseln, wie hoch wäre dann nach 5 Jahren noch verfügbare Deponieraum?

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Hat der Aufgabenroboter der WU Vienna wieder einen neuen Aufgabensatz produziert?

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Laut meinem Ergebnis müssten noch 17250,95 m³ frei.

4*0,9 = 3,6

3,6*4000 = 14 400

Wachstum der Einwohner --> 320 pro Jahr d.h. 8% Steigerung

daraus folgt

14 400 * ( (1,08^5-19) / (1,08 -1) ) = 84 479, 05382

102 000 - 84 479,05382 = 17 520,95

Kann mir jemadn bitte sagen wo ich meinen Rechenfehler habe? Habe es schon anderst versucht weiß aber leider nicht welchen anderen Ansatz ich verwenden kann.

Vielen Danke

Answer 1

Hm... ich habe mir Aufgabe und Rechnung nicht im Detail angesehen, aber hast du "Die Einwohnerzahl steigt um 320 Einwohner pro Jahr." beachtet?

Comments

Ja ich laut meiner Berechnung wäre die Steigung der Einwohner pro Jahr 8%?

Finde leider kein ähnliches Beispiel im Forum....

Danke für die Hilfe

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Die Einwohnerzahl steigt nicht "um 8% pro Jahr" (exponentiell), sondern "um 320 Einwohner pro Jahr" (linear).

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Also könnte dieses Rechenansatz:

5/2 * (4000 + 5280) = 23 200

23 200 * 3,6 = 83 520

102 000 - 83 520 = 18 480

richtig sein?

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Wie kommst Du auf den Ansatz?
Ich habe
Einwohnerzahl pro Jahr
E(n) = 4000 + 320·n

Müllproduktion pro Jahr
V(n) =  3,6·(4000 + 320·n)

...siehe Antwort

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Wie auch immer, 83 520 nach 5 Jahren habe ich auch raus.

Answer 2

4320 * 4 = 17280
4640 * 4 = 18560
4960 * 4 = 19840
5280 * 4 = 21120
5600 * 4 = 22400
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99200 ca 5 Jahre

4 - 10 % von 4 = 3.6

obige Rechnung mit 3.6 durchführen.
99200 : 4 * 3.6 = 89280

Comments

Wieso verwenden Sie das erste Jahr nicht?

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Dies ist eine Näherungsrechnung die gut
zu 102000 m^3 passt.
Im ersten Jahr stieg die Einwohnerzahl
von 4000 auf 4320. Also betrug die
Einwohnerzahl im Mittel 4160.
Man könnte die Rechnung auch mit
4160, 4480, 4800 usw durchführen.

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@ Georg :

Warum bist du von deiner völlig richtigen Voraussetzung des kontinuierlichen Wachstums und der Methode der Integralrechnung abgegangen und benutzt hier ein Modell, das unrealistische, sprunghafte Änderungen der Einwohnerzahl um jeweils genau 320 Leute  verlangt ?

Mit Integralrechnung kommt man doch problemlos auf eine Einwohnerzahl von  N(t) = 4000 + 320t , eine Müllproduktion von m(t) = 4·N(t) und eine Gesamt-Müllmenge von  M(t) = ₀∫^t m(τ) dτ = 16000t + 640t² (t in Jahren, m in m^3 pro Jahr, M in m^3).

Daraus folgt M(5) = 96000 , m(t) = 102000 für t = 5,27 und 102000-0,9·96000 = 15600 freier Deponieraum nach 5 Jahren.

Answer 3

Einwohnerzahl pro Jahr
E(n) = 4000 + 320·n

Müllproduktion pro Jahr
V(n) =  3,6·(4000 + 320·n)  ==>
V(n) = 14400 + 1152·n

Summenbildung-Ansatz
Jahr-1 14400 + 1152·0
Jahr-2 14400 + 1152·1
...
Jahr-n 14400 + 1152·(n-1)

Summe n-Jahre
14400 + 1152·0 + 14400 + 1152·1 + ... + 14400 + 1152·(n-1) =
n·14400 + 1152·(1 + 2 + ... + n-1) =
n·14400 + 1152·1/2 · (n^2 - n) mit der Gaußschen Summenformel(*)

Summe nach 5 Jahren
V = 5·14400 + 1152·1/2 · (5^2 - 5) = 83520
V = 83520m^3

Verfügbarer Raum nach 5 Jahren
V = 102000 m^3 - 83520 m^3
V = 18480 m^3

(*)
Gaußsche Summenformel
1+2+...+n = Summe(k=1 bis n)[k] = (n^2 + n) / 2

Wir summieren bis n-1
Summe(k=1 bis n-1)[k] = ((n-1)^2 + (n-1)) / 2 = 1/2 (n^2 - n)