Mengenlehre, Zahlenintervalle vereinigen: Bestimmen Sie für alle Paare die Mengen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Intervalle
$$ I_{1}:=[-3,1] ; \quad I_{2}:=[-1,2] ; \quad I_{3}:=[1.5,4] $$

Bestimmen Sie

(i) für alle Paare \( (i, j) \in\{1,2,3\} \times\{1,2,3\} \) die Mengen \( I_{i} \cap I_{j} \)

$$ I_{i} \cup I_{j}, I_{i} \backslash I_{j} $$

(ii) die Menge \( I_{1} \backslash\left(I_{2} \cap I_{3}\right) \)

Ansatz:

Ein Intervall lässt sich ja wie I1  so als Menge schreiben: M:=(-3,-2,-1,0,1) stimmt das so?

und was ist der eine teil da bei der aufgabe i .) wo steht {1,2,3} x {1,2,3} ich meine ist tdsa jetzt ein MAL oder eine Kreuzung oder was ist das?  Ich denke die aufgabe ist voll EASY weil die anderen aufgaben hab ich die sind kompliziertet und hier die aufgabe 1 raff ich nicht weil ich nicht weiß was er von mir will.

Answer 1

Definitionen solltest du ja schon irgendwo haben.

Mal eine bildliche Beschreibung:

1. Intervalle sind Abschnitte auf den reellen Zahlenstrahl. Da musst du auch auf die Richtung der Klammern achten [2.7 , 3] sind z.B. alle reellen Zahlen von 2.7 bis und mit 3.      

 

[2.7 , 3[  sind z.B. alle reellen Zahlen von 2.7 bis 'und ohne' 3.      

In ] 2.7 , 3[ ist auch 2.7 nicht enthalten. 

 

2. alle Paare (i,j) aus  {1,2,3} x {1,2,3} 

Heisst nichts anderes, als dass du in allen 3 nachfolgenden Rechnungen jedes Intervall mit jedem vergleichen musst.

Am einfachsten stellst du das wohl jeweils in einer Tabelle dar.

Für i=j = 1 und Schnittmenge kommt da [-3,1] in die linke obere Ecke der Tabelle für Schnittmenge

Fortsetzung Tabelle Schnittmenge:

Für i=1 und j=2:  [ -1, 1]

Für i=1 und j=3: { }

Für i=2 und j=1: [-1,1]

Für i=2 und j=2: [-1,2]

Für i=2 und j=3: [1.5 , 2]

Für i=3 und j=1: {}

Für i=3 und j=2: [1.5 , 2]

Für i=3 und j=3: [1.5, 4]

An der Tabelle sollte erkennbar sein, dass 'Schnittmenge' und 'Vereinigungsmenge' symmetrisch ist.

 

 

Für i=j = 1 und ' \  ' kommt da das Zeichen für leere Menge in die linke obere Ecke der Tabelle

Für i=1 und j=2 : [-3, -1 [

Für i=1 und j=2: [-3, 1.5 [               

usw.

Das wird nicht symmetrisch! Beachte die eingefärbten Klammern, die den Eckpunkt ausschliessen.

Ich hoffe das hilft ein Stück weiter.

Anscheinend nicht. Das Folgende als Antwort auf deinen letzten Kommentar:

Tabelle für die Vereinigung

u                         [-3,1]             [-1,2]                       [1.5, 4]

 [-3,1]                  [-3,1]            [-3,2]                       [-3,1] u [1.5, 4]

[-1,2]                   [-3,2]            [-1,2]                       [-1,4]

[1.5, 4]        [-3,1]u[1.5, 4]      [-1,4]                       [1.5, 4]

 

 

Tabelle für die Mengensubtraktion

\                          [-3,1]                [-1,2]                          [ 1.5,4]

 [-3,1]                  {}                     [-3, -1[                        [-3,1]

[-1,2]                  ]1,2]                  {}                               [-1, 1.5 [

[1.5,4]               [1.5,4]              ]1.5,2]                        {}

 

(ii)

[-3,1] \ ([-1,2] ∩[1.5, 4]) =

[-3,1] \ [1.5,2] =

[-3,1]

 

Comments

ja also war es richtig... nur eine frage wenn ich jetzt das bei I₃ mir angucke da steht 1,5 und 1,5 ist doch eine Rationale Zahl. Also ich meine wenn ich ein Intervall von -1 bis 2 darstellen soll in ganzen zahlen wäre es ja so:

-1,0,1,2 aber wenn der noch rationale Zahlen haben will also kommazahlen dann wäre das ja übertrieben viel.

Das ist eswas ich nicht verstehe. Der sagt nicht : ℕ oder ℤ oder ℚ...weiste was ich meine?

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Nein! Achtung: Reelle Zahlen sind wirklich alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Keine Löcher. z.B. auch Wurzel aus 5, ein Siebtel, die Kreiszahl Pi… Am besten machst du farbige Striche. Und am Ende z.B. ein Kreuz, wenn der Eckpunkt dazu gehört, resp. ein leeres Kreislein, wenn nicht.

Also bei [1.5 , 4] je ein Kreuz bei 1.5 und 4 verbunden mit Strecke. z.B. in grün.

Du musst hier nichts aufzählen sondern einfach wieder ein Intervall (in Intervallschreibweise) als Resultat angeben. Ausser bei der leeren Menge oder wenn tatsächlich einzelne Punkte rauskommen {4} oder so.

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ohhhhhhh ich bin überfordert ich versteh grad nicht was ich laut deienr aussage machen solll... jetzt mal ganz einfach für ganz dumme leute

 

wie geht die 1 aufgabe? wäre das bei der i.) dann für I_i und I_j   einfach {1,2,3}  bei geschnitten auch {1,2,3} und bei ohne {0}???

 

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Ich mach mal in der Lösung bei der Tabelle noch etwas weiter. Vielleicht kannst du's dann nachvollziehen.

eine Tabelle zeichnen … schaffst du doch.

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"Fortsetzung Tabelle Schnittmenge:

Für i=1 und j=2:  [ -1, 1]

Für i=1 und j=3: { }

Für i=2 und j=1: [-1,1]

Für i=2 und j=2: [-1,2]

Für i=2 und j=3: [1.5 , 2]

Für i=3 und j=1: {}

Für i=3 und j=2: [1.5 , 2]

Für i=3 und j=3: [1.5, 4]

An der Tabelle sollte erkennbar sein, dass 'Schnittmenge' symmetrisch ist.

 

 

Für i=j = 1 und ' \  ' kommt da das Zeichen für leere Menge in die linke obere Ecke der Tabelle

Für i=1 und j=2 : [-3, -1 [

Für i=1 und j=2: [-3, 1.5 [              "

 

Wie rechenst du??ß was für tabelllen? ich versteh gar nix... Stell dir vor ich frage dich was "Parasitanters" ist und was damit gemeint ist umgangsprachlich. Ich habe 0 ahnung ... deswegen weis ich nicht wie du von i3 = j 1 zb.: auf leere menge kommst...

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Ich geb dir ein Stern wenn du mir das ausführlich hinschreibst, ich hab kein bock mehr.

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Noch eine Anmerkung zu den Voraussetzungen für die Aufgabe, resp. zum Titel:

Intervalle sind Zahlenmengen!

Deshalb kann man viele Mengen von reellen Zahlen auch als Intervalle darstellen.