Äquivalenzklassen bestimmen von komplexem Zahlen

Question

Hi, ich verstehe nicht wie man folgende Aufgabe löst..

Wir betrachten

Γ := {x + iy : x, y ∈ Z}

in C. Für eine komplexe Zahl  z = x+iy mit x, y ∈ R ist der Absolutbetrag durch

||z||:= wurzel aus x^2+y^2

definiert. Auf dem Γ betrachten wir nun die durch

z ≡ z~ : ⇐⇒ ||z|| = ||z||~ (fur  z, z~ ∈ Γ)

definierte Relation ≡⊂ Γ × Γ. Dies ist eine Aquivalenzrelation. Für  z ∈ Γ sei

[z] := {w ∈ Γ : z ≡ w} die entsprechende Aquivalenzklasse.

Berechnen Sie (einschließlich Begrundung / detaillierter Angabe des Rechenweges) die Äquivalenzklassen [0], [ i], [1 + i] und [1 + 2i]..

ich verstehe nicht wie man diese Äquivalenzklassen berechnet.. es wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen würde..

Answer 1

Du musst für die Klasse  [0] einfach alle Elemente von  Γ bestimmen, die den

gleichen Betrag haben wie 0.  Das ist nur  0 + i*0.

Bei [i] ist ||i|| = wurzel aus 0² + 1²  = 1

Das wären also in dieser Klasse   0+1*i   ,  0-1*i  ,  1+0*i   ,  0-1*i

Also eine Klasse mit 4 Elementen.

Entsprechend bei den anderen.

Comments

Diese 4 Elemente sind für die Klassse [i] und die 0 hat nur die 0?

Ich verstehe nicht wie man darauf kommt, deswegen verstehe ich auch nicht wie ich das für den Rest machen soll.

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und du hast zwei mal 0-1*i geschrieben. kommt da nicht 1-0*i?

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Richtig, das war vertippt, muss 1x heißen   1-0*i.

Wenn du die Elemente einer

Klasse bestimmen willst, machst du am besten allgemein den Ansatz  :

Betrag von a+bi  =  Betrag des gegebenen Elementes

also etwa bei dem dritten

 || a+bi || =  || 1+i ||  und rechne aus:

√(a² + b²) = √(1² + 1²)   = √2     also

           a² + b² = 2

Jetzt musst du nur noch überlegen, welche ganzzahligen (wegen Def. von Γ )

a,b diese Gleichung erfüllen. Das sieht man bei kleinen Zahlen auf der

rechten Seite oft schnell:

Hier geht nur a² = b² = 1   ; denn anders lässt sich die 2 nicht als Summe

zweier Quadratzahlen darstellen. Also a=±1 und b=±1.

Also hast du die Fälle   1+i  ;  1-i ;  -1+i   -1-i