Antwort mit KI erzeugt
Schrittweise Lösung der Aufgabe:
Um den Punkt zu finden, der von den gegebenen Punkten \(A = (-1, 3)\), \(B = (3, 1)\) und \(C = (4, 7)\) höchstens den Abstand 4 hat, müssen wir eine logische und mathematische Analyse durchführen.
Schritt 1: Verständnis der Aufgabenstellung
Gesucht ist ein Punkt \(P = (x, y)\), der von den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) höchstens den Abstand 4 haben darf. Offensichtlich handelt es sich nicht einfach nur um eine Berechnung der Summe der Koordinaten, obwohl in der Aufgabe dies zum richtigen Ergebnis zu führen scheint.
Schritt 2: Berechnung von Punkt \(A + B\)
In der Aufgabe wird gegeben, dass \(A + B\) das richtige Ergebnis liefert. Berechnen wir dies einmal:
\(
A = (-1, 3)
\)
\(
B = (3, 1)
\)
\(
A + B = (-1 + 3, 3 + 1) = (2, 4)
\)
Schritt 3: Überprüfung der Abstände
Um sicherzustellen, dass der Punkt \((2, 4)\) tatsächlich von den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) höchstens den Abstand 4 hat, berechnen wir die Abstände:
1.
Abstand zu Punkt \(A\) (-1, 3):
Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) ist:
\(
\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\)
Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (-1, 3) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\(
\sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16
\)
Der Abstand zu Punkt \( A \) ist \(\sqrt{10} \approx 3.16 \), was kleiner als 4 ist.
2.
Abstand zu Punkt \(B\) (3, 1):
Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (3, 1) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\(
\sqrt{(2 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 - 3)^2 + 3^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16
\)
Der Abstand zu Punkt \(B\) ist \(\sqrt{10} \approx 3.16 \), was ebenfalls kleiner als 4 ist.
3.
Abstand zu Punkt \(C\) (4, 7):
Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (4, 7) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\(
\sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61
\)
Der Abstand zu Punkt \(C\) ist \(\sqrt{13} \approx 3.61 \), was ebenfalls kleiner als 4 ist.
Schlussfolgerung
Da der Abstände zu Punkt \(A\), \(B\) und \(C\) jeweils kleiner als 4 sind (\(\sqrt{10} \approx 3.16\) und \(\sqrt{13} \approx 3.61\)), erfüllt Punkt \((2, 4)\) die Bedingung der Aufgabenstellung und ist der gesuchte Punkt.
Fazit
Die Berechnung des Punktes durch Addition der Punkte \(A\) und \(B\) ergibt zufällig den richtigen Punkt in dieser ganz spezifischen Aufgabenstellung. Mathematisch gesehen, handelt es sich jedoch oft um eine Untersuchung der Geometrie, die durch den gegebenen Kontext evtl. zufällig das korrekte Ergebnis liefert. Die logische Überprüfung und die Abstandsberechnungen bestätigen jedoch, dass \((2, 4)\) wirklich der geforderte Punkt ist.
