Kurvendiskussion - See #2

Question

Hallo Community,

ich habe hier eine Übung zur Kurvendiskussion mit mehreren Teilaufgaben. Ich habe alle  bis auf 1 noch, womit ich nicht ganz klar komme, fertig. Es ist die die Aufgabe d).  Den Teil mit der Größe der Seefläche habe ich ermittelt und will es gerne bestätigt bekommen. Den Teil mit der Länge zwischen dem nördlichsten und südlichsten Teil kann ich nicht lösen...

Im Anhang ist der Ausgangsfall, die Aufgabenstellung und mein Ergebnis zur Seeflächenberechnung.

Answer 1

Hallo Peter,

f(x) = - x³ + 4·x² - 3·x       (Graph: links oben beginnende S-Form)

g(x) =  a * (x-1) * (x-2)  ,   S(2|-0.2) einsetzen →  a = - 0,5

g(x) = - 0,5 · (x - 1) * (x - 2)  = 1/2 · x² - 2·x + 3/2  

f '(x) = - 3·x² + 8·x - 3 = 0    →_abc-Formel     x_H ≈ 2,215   ;     [ x_T  ≈  0,451 ]

f(2,215) = 2.113    H_f  = ( 2,215 |  2.113)

                             T_g = S  = ( 2 | - 0,5 )

Pythagoras →

gesuchte Seelänge =  √( Δx² + Δy² )  = √( 0,215² + 2,613² )  

                                 ≈ 2.622 [km]   ≈  2622 m 

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Fläche  =  ₁∫³ ( - x³ + 4·x² - 3·x  - ( 1/2 · x² - 2·x + 3/2 ) )  dx 

              = ...  =  [ - x⁴/4 + 7·x³/6 - x²/2 - 3·x/2 ]₁³   =  10/3

Gruß Wolfgang

Comments

Könnten Sie mir eventuell noch eine Skizze dazu erstellen bitte, damit ich mir dies genauer vorstellen und verstehen kann? Danke

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Alles andere findest du in deinem Bild:

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Habs verstanden :)

Noch eine Frage: kann man dies auch alternativ berechnen, also anders als mit delta x/y ..?

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Man kann den Abstand der Punkte S und H  auch mit der Abstandsformel

d(S,H) = √( (x_s - x_H)² + (y_S - y_H)² )  berechnen, was aber im Prinzip auf das Gleiche hinausläuft.

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Ah eine schon gklärt danke :)

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Am Scheitelpunkt einer Parabel g(x) hat deren Ableitung g'(x) den Wert 0.

→ x_s  →  y_s = g(x_s)

Außerdem liegt x_s  ggf. in der Mitte zwischen den Nullstellen     

Answer 2

In Worten
Hochpunkt von f feststellen ( xf | yf )
Tiefpunkt von g feststellen ( xg | yg )

delta x = xg - xf
delta y = yg - yf

Pythagoras
Abstand ^2 = ( delta x ) ^2 + ( delts y ) ^2