weder einen Hoch- oder Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?

Question

Aufgabe:

Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3. Grades f(x)=x³+bx²+cx +d (b,c,dER)

a) genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt besitzt,

b) genau einen Sattelpunkt besitzt,

c) weder einen Hoch- oder Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie man sowas berechnet. Kann mir das bitte einer vorrechnen?

Comments

Die vorgelegte Funktionenschar besteht aus ganzrationalen Funktionen dritten Grades.

Diese Funktionen besitzen entweder

(1) zwei Extrempunkte und keinen Sattelpunkt oder

(2) keine Extrempunkte und keinen Sattelpunkt oder

(3) keine Extrempunkte und genau einen Sattelpunkt.

Dies ist unabhängig vom Parameter d.

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Und wie berechne ich das?

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Besitzt die Steigung der Wendetangente ein anderes Vorzeichen als der Leitkoeffizient (der ist hier +1), dann liegt Fall (1) vor, bei gleichem Vorzeichen Fall (2). Ist die Steigung der Wendetangente 0, dann ist es Fall (3).

Die Steigung der Wendetangente ist \(f'(x_w)\), falls \(x_w\) die Wendestelle ist.

Answer 1

Nullstellen der ersten Ableitung: x=\( \frac{±\sqrt{b^2-3c}-b}{3} \).

a) Für b²-3c>0 genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt.

Answer 2

f ( x) =x^3 + bx^2+cx + d

d ist der y-Achsenabschnitt
Eine Änderung von d würde die Kurve nach
oben oder unten verschieben.
Würde aber an Steigungen / Krümmungen nichts
ändern

a) genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt besitzt,
f ´ ( x ) = 3 * x^2 + 2 * b * x + c
Stellen mit waagerechter Tangente
3 * x^2 + 2 * b * x + c = 0

x gleich

Es ergeben sich 2 Lösungen

Falls √ [ ( b^2 - 3*c ) / 3 ] = 0 ist reduziert
sich die Lösung auf -b/3
√ [ ( b^2 - 3*c ) / 3 ] = 0
( b^2 - 3*c ) / 3  = 0

b = ± √ ( 3c )
oder
c = b^2 / 3

Für diese Werte ist EINE waagerechte Tangente
Stelle vorhanden
Beispiel
b = 2
b^2 / 3 = 4/3
c = 4/3
x = -b/3 = -2/3
Krümmung
f ´´ ( x ) = 6 * x + 2* b
f ´´ ( -b/3 ) = 6 * (- b/3 )+ 2* b
f ´´ ( -2/3 ) = 6 * (- 2/3 ) + 2* 2 
f ´´ ( -2/3 ) = 0
Die Krümmung ist 0 = Sattelpunkt

Hoffentlich stimmt das alles

Bitte nachprüfen und nachfragen.