Welche Bedigungen müssen a und b erfüllen, damit f kein Extremum hat?

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= (ax+b)/(x² -1) , wobei a, b > 0.

Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, damit f kein Extremum hat? Geben Sie eine entsprechende Funktion an

die Ableitungsfunktion ist ((ax² − a) − (2ax²  +2bx )) / (x² -1)² 

Also mir ist klar,dass die Ableitung der  Funktion ungleich 0 sein muss aber ich hab bisher noch nie mit einer Funktion gerechnet die ungleich 0 ist. Wie rechnet man jetzt diese Aufgabe?

Answer 1

Hallo Relaxing,

f(x)= (ax+b)/(x² -1)    Quotientenregel mit Zusammenfassen ergibt

f '(x) = - (a·x² + 2·b·x + a) / (x² - 1)²

f '(x) = 0   →    a·x² + 2·b·x + a =  0   

mit der abc-Formel  (oder pq-Formel nach Division durch a):

x₁ = (√(b² - a²) - b)/a   ;   x₂ = - (√(b² - a²) + b)/a

Wenn diese Nullstellen von f ' in ℝ  nicht existieren sollen, muss der Radikand unter der Wurzel negativ sein:

 b² - a² < 0 , also |b| < |a|  gelten   →  b < a   wegen   a,b > 0 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich habe noch ein paar Fragen wenn es nichts ausmacht.

(f '(x) = 0   →    a·x² + 2·b·x + a =  0   ) 

also ich hab beim vereinfachen das hier herausbekommen 

(f '(x) = 0   → - a·x² + 2·b·x - a =  0)  da wenn man ax² -2ax²  macht ein (-ax² ) rauskommt und a mal -1 ergibt -a  oder( hab ich mich verrechnet)?

und wenn man abc Formel nimmt kommen bei mir 2 und -4b+2 raus ...

ich bin jetzt richtig verwirrt , was soll ich jetzt mit den Nullstellen machen?

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f '(x) = - (a·x² + 2·b·x + a) / (x² - 1)² ist richtig !

 - (a·x² + 2·b·x + a) / (x² - 1)² = 0    | * (-1) | *  (x² - 1)²

a·x² + 2·b·x + a = 0 

Bei der abc-Formel ist dann

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\)) / (2a)

 ist dann

a = a ,  b = 2b  und  c = a  einzusetzen!