Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden? Geometrische Folge

Question

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie 6000 m3 Müll an, im zweiten Jahr 6360 m3 . Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für 1500000 m3 Müll.
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Habe 94,76 rausbekommen, ist aber leider falsch.
Kann mir bitte jemand die richtige Lösung mit Rechenweg geben?

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Wie sieht die Formel für n Jahre aus?

Answer 1

6360 / 6000 = 1.06

m ( t ) = m0 * 1.06 ^t
m ( 1 ) = m0 * 1.06 ^1 = 6000
m0 = 5660 m^3

m ( t ) = 5660 * 1.06 ^t
oder
m ( t ) = 5660 * e ^{ln[1.06]*t}

Stammfunktion
s ( t ) = 5660 / ln(1.06) * e ^{ln[1.06]*t}

Integrieren
[ s ( t ) ] zwischen 0 und x = 1500000
x = 48.05 Jahre

Bitte nachrechnen.

Die Aufgabe kann auch / soll vielleicht über
eine geometrische Reihe berechnet werden

Comments

Werter Georg, deine Rechnung mittels Integralen ist richtig.

Allerdings machst du erneut den Fehler, auf den ich dich schon früher einmal hingewiesen habe und zwar geht es um die Bestimmung von m0.

Der Ansatz m(t) = m0·1,06^t  für die zum Zeitpunkt t momentan gerade anfallende Müllmenge ist richtig. Mittels Integralrechnung ergibt sich daraus 
M = _a∫^b m(t) dt  für die im Zeitintervall (a,b) insgesamt erzeugte Müllmenge.

Nun ist ja wie du richtig schreibst eine Stammfunktion von m gegeben durch
s(t) = m0·1/ln(1,06)·1,06^t .

Jetzt kommt's :  Für das erste Jahr ist demzufolge
M  =  ₀∫¹ m(t) dt  =  s(1) - s(0)  =  m0 / ln(1,06) · (1,06^1 - 1,06^0)
    =  m0 / ln(1,06) · 0,06
und weil diese Müllmenge im ersten Jahr 6000 sein soll, ergibt sich
m0 = 6000 · ln(1,06) / 0,06  =  5826,89 .

[ Kontrolle :  Im zweiten Jahr wird  M = ₁∫² 5826,89·1,06^t dt  = 
  =  5826,89 / ln(1,06) · (1,06^2 - 1,06^1)  =  6360 ]

Die gesuchte Lösung t der Gleichung   ₀∫^t 5826,89·1,06^τ dτ = 1500000
 ist dann  t = 47,58

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Rechnung mittels Integralen ist richtig.

Nach dem Motto: Warum einfach wenn's auch umständlich geht.

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Dass du unbelehrbar bist konnte man ja schon aus diesem Kommentar entnehmen.

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Geschätzter Gast hj2166
Die Frage lautet: Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?
Die Frage lautet nicht: Zu welchem Zeitpunkt t muss die Deponie geschlossen werden? Ein kontinuierliches Wachstum muss nicht betrachtet werden. Für diese Aufgabe ist völlig wumpe, ob der Müll einmal pro Jahr hineingekippt wird, oder ob jeden Tag etwas mehr dazukommt wenn wir ganzzahlige Lösungen betrachten, denn eine ganzzahlige Lösung ist exakt(wir betrachten ganze Jahre). (Es ließe sich dann immer noch anhand des verfügbaren Restvolumens abschätzen, für wie viele Monate in etwa der Raum der Deponie nach n Jahren ausreicht. Das ist hier aber gar nicht gefordert.)

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Das leuchtet ein.

Answer 2

Hi c345! :-)

Kann mir bitte jemand die richtige Lösung mit Rechenweg geben?

Müllvolumen-Wachstum V(n) in Abhängigkeit von n Jahren: V(n) = 6000*1,06^n
Entwicklung der Summenformel. Bildung der Summe zunächst für 3 Jahre
6000*1,06^0 + 6000*1,06^1 + 6000*1,06^2

Daraus die Summe für x Jahre
6000*1,06^0 + 6000*1,06^1 + ... + 6000*1,06^{x-1}=
6000*(1,06^0 + 1,06^1 + ... + 1,06^{x-1})
Geometrische Summenformel anwenden, q = 1,06 einsetzen und vereinfachen
6000*(q^x -1)/(q-1) =          
6000*(1,06^x -1)/0,06 =
100000*1,06^x - 100000

==> Summenformel für x Jahre: V(x) = 100000*1,06^x - 100000
V(x) = 1500000
Gesucht: x

100000*1,06^x - 100000 = 1500000
1,06^x = 16 |
x = ln(16)/ln(1,06)
x = 47,58
Nach 47 Jahren muss die Deponie geschlossen werden.

Bonus: Für wie viele Monate wird nach 47 Jahren das Restvolumen reichen?
Belegtes Volumen nach 47 Jahren
100000*1,06^47 - 100000 = 1,44659167257127039985e6
Verfügbares Restvolumen: 53408,3 wird in etwa nach 53408,3/(86795,5/12) ≈ 7 Monaten aufgebraucht sein.
Bzw. 1,44659167257127039985e6*1,06^x  = 1500000 -> x ≈ 0,6222 -> 0,6222*12 ≈ 7 Monate. Gehüpft wie gesprungen. :-o

Beste Grüße

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