Die Frage lautet:
f ∈ End(V) , V ist endlicher Vektorraum, f ist diagonalisierbar. Ist auch fm für alle m ∈ N diagonlisierbar?
Bin mir wieder nicht sicher ob das stimmt... vielleicht ist etwas falsch oder habe ich etwas Wichtiges übersehen. Und ob man die Induktion überhaupt braucht, denn das Ergebnis ist ja offensichtlich.
$$ \\ Sei\quad f\quad nicht\quad die\quad Nullabbildung\quad (f\quad sei\quad also\quad nicht\quad nilpotent).\\ \\ Nach\quad Voraussetzung\quad ist\quad f\quad diagonalisierbar.\quad \\ Damit\quad besitzt\quad V\quad eine\quad Basis\quad B\quad =\quad \left\{ { v }_{ 1 },\quad ...\quad ,{ v }_{ n } \right\} \quad aus\quad Eigenvektoren\quad so\quad dass\quad { { _{ B }{ M }_{ B } }\quad (f) }\quad eine\quad Diagonalmatrix\quad ist.\quad \\ Seien\quad { \lambda }_{ 1 },\quad ...\quad ,{ \lambda }_{ n }\quad Eigenwerte\quad von\quad f\quad mit\\ \\ f({ v }_{ i })={ \lambda }_{ i }{ v }_{ i }\quad ,\quad { v }_{ i }\neq 0\quad denn\quad der \quad Nullvektor\quad ist\quad kein \quad Basiselement,\quad für\quad alle\quad 1\le i\le n.$$
$$ Behauptung:\\ \\ Für\quad alle\quad m\in N\quad gilt:\quad { f }^{ m }({ v }_{ i })={ \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i }\quad \\ \\ IA\quad \\ \\ n=1\quad :\quad f({ v }_{ i })={ \lambda }_{ i }{ v }_{ i }\\ \\ IA\quad erfüllt\\ \\ IV\quad Für\quad ein\quad m\in N\quad gilt\quad { f }^{ m }({ v }_{ i })={ \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i }\\ \\ IB:\quad Es\quad gelte\quad die\quad Aussage\quad für\quad m+1\quad :\\ \\ { f }^{ m+1 }=f\quad \circ \quad f^{ m }=f({ f }^{ m }({ v }_{ i }))\overset { n.\quad IV }{ = } f({ \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i })={ \lambda }_{ i }{ \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i }={ { \lambda }_{ i } }^{ m+1 }{ v }_{ i }\\ \\ Für\quad alle\quad m\quad \in \quad N\quad gilt:\quad { f }^{ m }({ v }_{ i })\quad =\quad { \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i }.$$
$$ Es\quad gilt\quad { \lambda }_{ i }\neq { \lambda }_{ j }\quad für\quad alle\quad 1\le i,j\le n.\quad Dann\quad ist\quad auch\quad { { \lambda }_{ i } }^{ m }\neq { { \lambda }_{ j } }^{ m }\quad für\quad alle\quad 1\le i,j\le n.\\ \\ Die\quad { v }_{ 1 },\quad ...\quad ,{ v }_{ n }\quad sind\quad also\quad auch\quad linear\quad unabhängige\quad Eigenvektoren\quad von\quad { f }^{ m }\quad zum\quad Eigenwert\quad { \lambda }^{ m }_{ i }.\\ \\ Damit\quad ist\quad { { _{ B }{ M }_{ B } }(f^{ m }) }= \begin{pmatrix} { \lambda }_{ 1 }^{ m } & .. & 0 \\ .. & \setminus & .. \\ 0 & .. & { \lambda }_{ n }^{ m } \end{pmatrix} \quad mit\quad einer\quad Basis\quad B=\left\{ { v }_{ 1 },\quad ...\quad ,{ v }_{ n } \right\} \quad \\ \\ und\quad nach\quad Definition\quad 3.2.3.\quad ist\quad f^{ m }\quad diagonalisierbar.$$
$$ Ist\quad f^{ m }\quad ist\quad die\quad Nullabbildung \quad für \quad ein \quad m \in N ,\quad f\quad ist\quad also\quad nilpotent,\quad so\quad ist\quad auch\quad f\quad Nullabbildung\quad wenn\quad f\quad diagonalisierbar\quad sein\quad soll.\\ Es\quad gilt\quad ebenfalls\quad { f }^{ m }({ v }_{ i })={ \lambda }^{ m }_{ i }{ v }_{ i },\quad mit\quad { \lambda }_{ i }^{ m }=0.\quad Es\quad ist\quad { _{ B }{ M }_{ B } }(f^{ m })= \begin{pmatrix} 0 & .. & 0 \\ .. & \setminus & .. \\ 0 & .. & 0 \end{pmatrix} \quad (={ _{ B }{ M }_{ B } }\quad (f^{ 1 })=\quad ...\quad ={ _{ B }{ M }_{ B } }\quad (f^{ m-1 })). $$
