Aufgabe:
Für eine Abbildung f : X → X und n ∈ N wird das n-fache Kompositium
f ◦ f ◦ f ◦ . . . ◦ f mit f^n bezeichnet.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (Begründen Sie Ihre Antwort)
(i) Sind V ein Vektorraum über einem Körper K mit n := dim V ∈ N, f ∈
End(V) und k ∈ N, so gilt f^k = 0 ∈ End(V ) genau dann, wenn (Mf,A,A)^k=0 ∈ M(n × n, K) für jede Basis A von V.
(ii) Sind V ein Vektorraum über einem Körper K mit n := dim V ∈ N, f ∈
End(V ) und k ∈ N, so gilt f^k = 0 ∈ End(V) genau dann, wenn (Mf,A,B)^k=0 ∈ M(n × n, K) für alle Basen A, B von V.
Problem/Ansatz:
Hallo erstmal!
Leider bereitet die Aufgabe mir Kopf zerbrechen, da ich nicht weiß wie ich das Folgern soll, ich denke, dass (i) richtig ist und (ii) falsch ist, so richtig begründen kann ich das leider nicht.
f^k ist ja ein Element aus dem Endomorphismus V, was bei der Komposition auch Sinn macht, nur leider verstehe ich nicht wie mir das weiter helfen soll...
Ich denke auch zu wissen, dass wenn eine Transformationsmatrix von A nach A abbildet, dass dort wieder die Einheitsmatrix raus kommt, nur weiß ich auch hier nicht ob mir das weiter hilft.
Ich hoffe jemand kann mir helfen,
LG
